Kalkulator Wektora Gradientu
Oblicz gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) funkcji dwóch zmiennych w wybranym punkcie wraz z jego wartością bezwzględną.
Function f(x, y)
Length of the gradient vector at the point
- 1
∂f/∂x at (x, y)
2Estimated by central difference: [f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ 2h with h = 10⁻⁵. - 2
∂f/∂y at (x, y)
4 - 3
Magnitude |∇f|
√(2² + 4²) = 4,4721
Jak działa ten kalkulator?
Gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) gromadzi pochodne cząstkowe funkcji i wskazuje kierunek jej najstromszego wzrostu. Narzędzie oblicza obie pochodne cząstkowe numerycznie metodą różnic centralnych w wybranym punkcie i podaje składowe oraz wartość bezwzględną |∇f| = √(fx² + fy²) — szybkość najszybszej zmiany w tym miejscu.
Wzór
How this is calculated
Gradient skalarnej funkcji f(x, y) to wektor jej pierwszych pochodnych cząstkowych, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Wskazuje kierunek najstromszego wzrostu f, a jego wartość bezwzględna |∇f| podaje szybkość tego wzrostu. Wybierz funkcję z listy i wpisz punkt (x, y), w którym chcesz wyznaczyć gradient.
Każda pochodna cząstkowa jest szacowana numerycznie za pomocą symetrycznego (centralnego) wzoru różnicowego: ∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) z małym krokiem h = 1e-5, i analogicznie dla ∂f/∂y. Różnice centralne mają dokładność drugiego rzędu, więc dla gładkich funkcji wynik zgadza się z dokładną pochodną analityczną do kilku miejsc dziesiętnych. Wartość bezwzględna to norma euklidesowa obu składowych.
Dane wejściowe x i y to zwykłe liczby rzeczywiste w dowolnych jednostkach używanych przez funkcję; składowe gradientu mają jednostki f na jednostkę x (lub y). Unikaj punktów, w których funkcja jest niezdefiniowana lub osobliwa — na przykład f = ln(x² + y²) rozbieżna jest w początku układu współrzędnych, a bardzo mały mianownik sprawia, że pochodna numeryczna jest niepewna. W lokalnym ekstremum lub siodle gradient jest wektorem zerowym, więc jego wartość bezwzględna wynosi zero.
Najczęściej zadawane pytania
Jest to najstromsza szybkość zmiany funkcji w danym punkcie. Wektor gradientu wskazuje kierunek najszybszego wzrostu, a |∇f| to szybkość, z jaką f rośnie w tym kierunku na jednostkę odległości.
Różnice centralne pozwalają narzędziu wyznaczać gradient dla dowolnej wybranej funkcji bez symbolicznego różniczkowania. Przy kroku h = 1e-5 dokładność względna wynosi około 1e-10 dla gładkich funkcji.
W punktach krytycznych — lokalnych maksimach, minimach i siodłach — obie pochodne cząstkowe znikają, więc ∇f = (0, 0) i wartość bezwzględna wynosi 0.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator Wektora Gradientu [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/gradient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator Wektora Gradientu." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/gradient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator Wektora Gradientu," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/gradient-calculator
@misc{wecalculate_gradient_calculator, title = {Kalkulator Wektora Gradientu}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/gradient-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?