Rezolvator de ecuații de gradul trei
Află fiecare rădăcină reală și complexă a oricărei ecuații de gradul trei ax³ + bx² + cx + d = 0 și vezi curba reprezentată grafic.
- 1
Shift: t = x + b/(3a)
6 ÷ (3 × 1) = 2Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0. - 2
p = (3ac − b²) ÷ (3a²)
(3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = -1 - 3
q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)
0 ÷ 27 = 0 - 4
Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³
(0 ÷ 2)² + (-1 ÷ 3)³ = -0,0370Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
Cum funcționează acest calculator?
O ecuație de gradul trei ax³ + bx² + cx + d = 0 are întotdeauna trei rădăcini. Acest rezolvator o reduce la o cubică redusă, verifică discriminantul Δ = (q/2)² + (p/3)³, apoi aplică formula lui Cardano pentru o rădăcină reală sau o formulă trigonometrică pentru trei rădăcini reale, listând fiecare rădăcină și reprezentând grafic curba.
Formulă
How this is calculated
Introdu cei patru coeficienți a, b, c și d. Coeficientul dominant a trebuie să fie nenul, altfel ecuația nu este de gradul trei și calculatorul nu returnează niciun rezultat. Ecuația este mai întâi împărțită conceptual la a și redusă la o cubică redusă t³ + pt + q = 0 folosind substituția x = t − b/(3a), unde p = (3ac − b²)/(3a²) și q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).
Natura rădăcinilor este decisă de discriminantul Δ = (q/2)² + (p/3)³, care este proporțional cu −(4p³ + 27q²). Când Δ > 0 există exact o rădăcină reală, calculată cu formula lui Cardano t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ), plus o pereche de rădăcini complexe conjugate. Când Δ ≤ 0, toate cele trei rădăcini sunt reale și se află cu formula trigonometrică stabilă t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3) pentru k = 0, 1, 2.
Fiecare t este deplasat înapoi cu −b/(3a) pentru a recupera x. Rădăcinile complexe sunt afișate ca o parte reală plus sau minus o parte imaginară (…i). Graficul reprezintă y = ax³ + bx² + cx + d într-o fereastră care cuprinde rădăcinile reale, unde fiecare intersecție cu axa x marchează o soluție reală. Rezultatele sunt exacte până la rotunjirea în virgulă mobilă; raporturile foarte mari ale coeficienților pot introduce mici erori numerice.
Întrebări frecvente
Dacă a = 0 termenul x³ dispare și ecuația este de gradul doi (sau mai mic), nu de gradul trei, deci metoda cubică nu se aplică. Folosește în schimb un rezolvator de ecuații de gradul doi.
Orice ecuație de gradul trei cu coeficienți reali are exact trei rădăcini, numărate cu multiplicitate: fie trei rădăcini reale, fie o rădăcină reală și o pereche de rădăcini complexe conjugate.
Δ > 0 înseamnă o rădăcină reală și două complexe; Δ = 0 înseamnă o rădăcină reală multiplă; Δ < 0 înseamnă trei rădăcini reale distincte.
Cunoscut și ca
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rezolvator de ecuații de gradul trei [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ro/calculator/cubic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Rezolvator de ecuații de gradul trei." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ro/calculator/cubic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rezolvator de ecuații de gradul trei," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ro/calculator/cubic-equation-solver
@misc{wecalculate_cubic_equation_solver, title = {Rezolvator de ecuații de gradul trei}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ro/calculator/cubic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Te-a ajutat acest calculator?