Калькулятор направленной производной
Найдите скорость изменения функции f(x, y) в точке при движении вдоль заданного направления.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Как работает этот калькулятор?
Направленная производная D_u f измеряет скорость изменения f(x, y) в точке при движении вдоль выбранного направления. Она равна скалярному произведению градиента ∇f = (fx, fy) и единичного вектора направления û. Инструмент оценивает градиент методом центральных разностей, нормирует ваш вектор и возвращает D_u f вместе с частными производными.
Формула
How this is calculated
Выберите функцию f(x, y) и точку (x, y), затем задайте вектор направления (u1, u2). Калькулятор сначала оценивает градиент ∇f = (fx, fy) с помощью симметричной (центральной) разностной формулы с малым шагом h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) и fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Центральные разности используются потому, что их погрешность имеет порядок O(h²), что значительно точнее односторонних разностей.
Затем направление нормируется до единичного вектора û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), поскольку направленная производная определена для единичного вектора. Результат — скалярное произведение D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, которое даёт мгновенную скорость изменения f в данной точке в данном направлении.
Единицы измерения следуют из f: D_u f имеет единицы f на единицу пройденного расстояния. Если вектор направления нулевой, его длина равна нулю, и результат не определён — в таком случае ответа нет. Максимально возможная направленная производная в точке равна модулю градиента |∇f| и достигается в направлении самого градиента; в перпендикулярном направлении она равна нулю.
Часто задаваемые вопросы
Направленная производная определена вдоль единичного вектора. Нормирование (u1, u2) по его длине устраняет влияние модуля вектора, так что результат отражает только направление, а не длину вектора.
Центральные разности при h = 1e-5 имеют погрешность, пропорциональную h², поэтому для гладких функций градиент, как правило, точен до многих значащих цифр и хорошо совпадает с точными аналитическими частными производными.
В направлении самого градиента ∇f, где D_u f равна модулю градиента |∇f|. Противоположное направление даёт наибольшее отрицательное значение, а перпендикулярные к ∇f направления дают ноль.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор направленной производной [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор направленной производной." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор направленной производной," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Калькулятор направленной производной}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?