Калькулятор численной производной
Оцените мгновенный наклон касательной к функции в любой точке с помощью простой и точной численной формулы.
Function f(x)
Estimated slope of the tangent line at a
- 1
f(a)
f(2) = 4 - 2
f(a + h)
f(2 + 0,00001) = 4,00004 - 3
f(a − h)
f(2 − 0,00001) = 3,99996 - 4
Numerator f(a+h) − f(a−h)
4,00004 − 3,99996 = 0,00008 - 5
Derivative f'(a) = numerator ÷ (2h)
0,00008 ÷ (2 × 0,00001) = 4Central difference: averaging forward and backward slopes cancels the leading error term.
Как работает этот калькулятор?
Данный инструмент оценивает производную функции в точке a по формуле центральных разностей f'(a) ≈ (f(a+h) − f(a−h)) / (2h). Выберите функцию, точку и малый шаг h (по умолчанию 1e-5). Инструмент возвращает наклон касательной с точностью порядка h² без символьного вычисления.
Формула
How this is calculated
Выберите функцию f из списка, точку a, в которой требуется найти наклон касательной, и малый шаг h. Калькулятор вычисляет f в точках a+h и a−h, затем применяет формулу центральных разностей f'(a) ≈ (f(a+h) − f(a−h)) / (2h). При этом усредняются наклоны вперёд и назад, что компенсирует погрешность первого порядка, и оценка получается точной с порядком h² — значительно лучше, чем при использовании односторонней разности.
Методу центральных разностей не нужна символьная алгебра: он лишь вычисляет функцию в нескольких точках. Шаг около h = 1e-5 обеспечивает баланс между погрешностью усечения (при слишком большом h) и ошибками округления с плавающей запятой (при слишком малом h). Для гладких функций это обычно даёт 6 и более верных цифр. Результат — оценённый наклон касательной к графику y = f(x) в точке x = a.
Допущения: f должна быть определена и конечна в точках a, a+h и a−h. Для ln x и sqrt x точка a должна быть положительной; для 1/x точка a должна быть ненулевой. Вблизи особенностей, изломов или очень крутых участков оценка становится менее точной, поскольку функция перестаёт быть гладкой на интервале выборки.
Часто задаваемые вопросы
Центральная разность (f(a+h) − f(a−h)) / (2h) имеет точность порядка h², тогда как прямая разность (f(a+h) − f(a)) / h имеет лишь порядок h. При одном и том же шаге центральная формула даёт значительно больше верных цифр.
Около 1e-5 хорошо работает для большинства гладких функций. При слишком большом шаге погрешность аппроксимации растёт; при слишком малом — преобладают ошибки округления с плавающей запятой. Если результаты выглядят нестабильно, попробуйте немного увеличить h.
Эти функции не определены вне своей области. Для ln x и sqrt x требуется a > 0, а для 1/x требуется a ≠ 0. Точки выборки a±h также должны оставаться в области определения.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор численной производной [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/numerical-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор численной производной." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/numerical-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор численной производной," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/numerical-derivative-calculator
@misc{wecalculate_numerical_derivative_calculator, title = {Калькулятор численной производной}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/numerical-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?