Калькулятор второй производной
Калькулятор численно оценивает вторую производную f″(a) выбранной функции в точке и сообщает, является ли кривая в этой точке выпуклой вверх или вниз.
Function f(x)
Concave up
- 1
f(a)
f(x) = x² at x = 1 = 1 - 2
f(a + h)
h = 0.0001, f(1 + 0.0001) = 1,0002Small step h = 1×10⁻⁴ used for numerical differentiation. - 3
f(a − h)
f(1 − 0.0001) = 0,9998 - 4
f''(a) = (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) ÷ h²
(1,0002 − 2 × 1 + 0,9998) ÷ 0 = 2
Как работает этот калькулятор?
Вторая производная f''(a) измеряет, как изменяется наклон функции в данной точке. Инструмент оценивает её численно по формуле (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) / h². Если f''(a) положительна, кривая выпукла вверх в точке a; если отрицательна — выпукла вниз; значение, близкое к нулю, указывает на точку перегиба.
Формула
How this is calculated
Выберите функцию f(x) из списка и укажите точку a. Калькулятор использует центральную формулу второй разности f''(a) ≈ (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) / h² с малым шагом h = 1e-4, что аппроксимирует точную вторую производную с точностью второго порядка по h.
Знак f''(a) описывает выпуклость: положительное значение означает, что график изгибается вверх (выпуклость вверх, как чаша) вблизи a; отрицательное — вниз (выпуклость вниз); значение, практически равное нулю, указывает на точку перегиба или локально прямолинейный участок. Результат и метка выпуклости обновляются одновременно.
Входные данные — вещественные числа без единиц измерения. Точка a должна лежать в области определения функции — например, ln(x) и √x требуют a > 0, а 1/x — a ≠ 0. Поскольку метод численный, результаты для функций с очень большой кривизной или вычисленные вблизи особых точек могут содержать небольшую погрешность округления; кривая на графике вблизи a помогает визуально оценить изгиб.
Часто задаваемые вопросы
Положительная вторая производная означает, что функция выпукла вверх (изгибается вверх) в данной точке; отрицательное значение — выпуклость вниз. Значение, близкое к нулю, часто указывает на точку перегиба.
Используется формула конечных разностей с малым шагом h вместо символьного дифференцирования, поэтому присутствует небольшая численная погрешность. Для гладких функций вдали от особых точек оценка очень близка к точному значению.
Только точки внутри области определения функции. Для ln(x) и √x выберите a > 0, для 1/x избегайте a = 0; в противном случае функция не определена и результат не отображается.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор второй производной [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/second-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор второй производной." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/second-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор второй производной," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/second-derivative-calculator
@misc{wecalculate_second_derivative_calculator, title = {Калькулятор второй производной}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/second-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?