Калькулятор вектора градиента
Вычислите градиент ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) функции двух переменных в выбранной точке вместе с его модулем.
Function f(x, y)
Length of the gradient vector at the point
- 1
∂f/∂x at (x, y)
2Estimated by central difference: [f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ 2h with h = 10⁻⁵. - 2
∂f/∂y at (x, y)
4 - 3
Magnitude |∇f|
√(2² + 4²) = 4,4721
Как работает этот калькулятор?
Градиент ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) объединяет частные производные функции и указывает направление её наибольшего возрастания. Инструмент численно оценивает обе частные производные методом центральных разностей в выбранной точке и возвращает компоненты и модуль |∇f| = √(fx² + fy²) — скорость наибыстрейшего изменения в этой точке.
Формула
How this is calculated
Градиент скалярной функции f(x, y) — вектор её первых частных производных: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Он указывает в направлении наибыстрейшего возрастания f, а его модуль |∇f| задаёт скорость этого возрастания. Выберите функцию из списка и введите точку (x, y), в которой нужно вычислить градиент.
Каждая частная производная оценивается численно по симметричной (центральной) разностной формуле: ∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) с малым шагом h = 1e-5, аналогично для ∂f/∂y. Центральные разности имеют погрешность второго порядка, поэтому для гладких функций результат совпадает с точной аналитической производной до нескольких знаков после запятой. Модуль — евклидова норма двух компонент.
Входные x и y — произвольные вещественные числа в тех единицах, которые использует функция; компоненты градиента имеют единицы f на единицу x (или y). Избегайте точек, где функция не определена или имеет особенность — например, f = ln(x² + y²) обращается в бесконечность в начале координат, и малый знаменатель там делает численную производную ненадёжной. В точке локального экстремума или седловой точке градиент равен нулевому вектору, и его модуль равен нулю.
Часто задаваемые вопросы
Это наибольшая скорость изменения функции в данной точке. Вектор градиента указывает в направлении наибыстрейшего возрастания, а |∇f| — это скорость возрастания f в этом направлении на единицу расстояния.
Центральные разности позволяют вычислить градиент для любой выбранной функции без символьного дифференцирования. При шаге h = 1e-5 относительная погрешность для гладких функций составляет порядка 1e-10.
В критических точках — локальных максимумах, минимумах и седловых точках — обе частные производные обращаются в нуль, поэтому ∇f = (0, 0) и модуль равен 0.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор вектора градиента [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/gradient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор вектора градиента." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/gradient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор вектора градиента," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/gradient-calculator
@misc{wecalculate_gradient_calculator, title = {Калькулятор вектора градиента}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/gradient-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?