Калькулятор частных производных
Выберите функцию двух переменных и точку (x, y), чтобы численно оценить её частные производные ∂f/∂x и ∂f/∂y.
Function f(x,y)
Rate of change of f with respect to x
- 1
f(x+h, y) with h = 1×10⁻⁵
f(1,00001, 2) = 5,00002 - 2
f(x-h, y) with h = 1×10⁻⁵
f(0,99999, 2) = 4,99998 - 3
Numerator = f(x+h,y) − f(x-h,y)
5,00002 − 4,99998 = 0,00004Central difference cancels the first-order error term for better accuracy. - 4
∂f/∂x ≈ numerator ÷ (2h)
0,00004 ÷ 0,00002 = 2
Как работает этот калькулятор?
Частная производная даёт наклон f(x,y) вдоль одной оси при фиксированной другой переменной. Данный инструмент вычисляет ∂f/∂x и ∂f/∂y в выбранной точке по формуле центральных разностей с шагом h = 1e-5, обеспечивая точные численные наклоны для выбранной функции.
Формула
How this is calculated
Частная производная измеряет, как меняется функция нескольких переменных при движении только одной переменной, тогда как остальные фиксированы. Выберите функцию f(x,y) из списка и введите координаты точки x и y, в которой требуется оценить наклоны.
Каждая частная производная аппроксимируется по формуле центральных разностей. Для получения ∂f/∂x фиксируем y и вычисляем [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h); для ∂f/∂y фиксируем x и вычисляем [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Шаг h = 1e-5 достаточно мал, чтобы отслеживать истинный наклон касательной, и при этом удерживает ошибки округления с плавающей запятой на низком уровне; симметричная (центральная) форма компенсирует ведущий член погрешности, обеспечивая точность второго порядка.
Входные данные — безразмерные вещественные числа, поэтому производные имеют размерность f на единицу x или y. Оценки чрезвычайно точны для гладких функций, представленных в данном инструменте. Граничные случаи: очень большие x в eˣ·y могут вызвать переполнение, а вблизи резких особенностей численная производная является лишь приближением точного аналитического значения.
Часто задаваемые вопросы
Это производная функции нескольких переменных по одной переменной при условии, что все остальные переменные рассматриваются как константы; она описывает наклон поверхности вдоль соответствующей оси.
Центральная разность [f(x+h) − f(x−h)] / (2h) компенсирует погрешность первого порядка, поэтому она имеет точность второго порядка и значительно точнее соответствует истинному наклону, чем прямая или обратная разность.
Для предоставленных гладких функций численная оценка обычно совпадает с точным аналитическим значением производной до нескольких десятичных знаков, ограниченных лишь ошибкой округления с плавающей запятой.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор частных производных [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/partial-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор частных производных." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/partial-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор частных производных," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/partial-derivative-calculator
@misc{wecalculate_partial_derivative_calculator, title = {Калькулятор частных производных}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/partial-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?