Kalkulátor Catalanových čísel
Nájdite n-té Catalanovo číslo a pozrite sa, ako sekvencia 1, 1, 2, 5, 14, 42, … rastie s n.
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3,333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3,333333 = 1 430
Ako táto kalkulačka funguje?
N-té Catalanovo číslo je Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!). Počíta vyrovnané závorky, úplné binárne stromy, mriežkové cesty a triangulácie polygónov. Séria začína 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … a rastie zhruba ako 4ⁿ. Zadajte ľubovoľné celé číslo n ≥ 0 a získajte Cₙ a celú krivku rastu.
Vzorec
How this is calculated
Zadajte nezáporné celé číslo n. Catalanove čísla Cₙ počítajú ohromnú rodinu kombinatorických objektov: počet spôsobov správneho spárovania n párov závoriek, počet úplných binárnych stromov s n+1 listami, počet monotónnych mriežkových ciest zostávajúcich pod uhlopriečkou a počet triangulácií konvexného (n+2)-uholníka — všetky rovnajúce sa rovnakému Cₙ.
Uzavretý tvar je Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!), ekvivalentne centrálny binomický koeficient C(2n, n) vydelený (n+1). Priame výpočty faktoriálov rýchlo pretekajú, preto tento kalkulátor používa presnú celočíselnú rekurenciu C₀ = 1 a C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2). Každý krok násobí faktorom s celočíselnou hodnotou, pričom bežiaca hodnota zostáva presná, pokiaľ to dovoľuje dvojitá presnosť, a stavia celú sekvenciu C₀…Cₙ vykreslenú v krivke rastu.
Hodnoty sú bezrozmerné počty, takže zmysluplné je iba celé číslo n ≥ 0; zlomkový vstup sa zaokrúhľuje nadol. Keďže Cₙ rastie zhruba ako 4ⁿ / (n^{3/2}√π), čísla presahujú presný celočíselný rozsah 64-bitového čísla s pohyblivou desatinnou čiarkou po n ≈ 30 a úplne pretekajú po n ≈ 170, takže vstup je obmedzený na 170 a veľké výsledky sú zobrazené vo vedeckej notácii.
Často kladené otázky
Séria začína C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429 a C₈ = 1430.
Z rekurencie, Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1), čo konverguje ku 4 s rastom n. Toto odráža asymptotický rast Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π).
Catalanove čísla rastú exponenciálne. Po n ≈ 170 hodnota prekračuje maximálne reprezentovateľné číslo s dvojitou presnosťou (~1,8×10³⁰⁸), takže väčšie vstupy nemožno presne vypočítať so štandardnou pohyblivou desatinnou čiarkou.
Známe aj ako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulátor Catalanových čísel [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/sk/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulátor Catalanových čísel." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/sk/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulátor Catalanových čísel," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/sk/calculator/catalan-number-calculator
@misc{wecalculate_catalan_number_calculator, title = {Kalkulátor Catalanových čísel}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/sk/calculator/catalan-number-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Pomohla vám táto kalkulačka?