Advanced

Kalkulačka smerovanej derivácie

Zistite, ako rýchlo sa funkcia f(x, y) mení v bode pri pohybe v zadanom smere.

Function f(x, y)

Point x

Point y

Direction u₁

Component along x

Direction u₂

Component along y

Directional derivative Dᵤf

4,4000

Rate of change of f along the chosen unit direction.

∂f/∂x

∂f/∂y

Unit direction

(0,6, 0,8)

Gradient magnitude

4,4721

Gradient ∇f and unit direction û — Dᵤf = ∇f · û

Step by step

1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5
2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8)
3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2
[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵.
4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4
5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000

Výsledky sú odhady určené len na všeobecné informačné účely a nepredstavujú odborné poradenstvo — dôležité výsledky si vždy nezávisle overte, kým sa na ne spoľahnete. Prečítať si celé vylúčenie zodpovednosti.

Rýchla odpoveď

Ako táto kalkulačka funguje?

Smerovaná derivácia D_u f meria, ako rýchlo sa f(x, y) mení v bode pri pohybe v zvolenom smere. Rovná sa gradientu ∇f = (fx, fy) skalárne násobitenému jednotkovým smerovým vektorom û. Tento nástroj odhaduje gradient centrálnymi diferenciami, normalizuje váš vektor a hlási D_u f spolu s parciálnymi deriváciami.

Vzorec

D_u f = ∇f · û = fx·(u1/|u|) + fy·(u2/|u|)

How this is calculated

Vyberte funkciu f(x, y) a bod (x, y), potom zadajte smerový vektor (u1, u2). Kalkulačka najprv odhadne gradient ∇f = (fx, fy) pomocou symetrickej (centrálnej) diferenčnej kvorty s malým krokom h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) a fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Centrálne diferencie sa používajú, pretože ich chyba je O(h²), čo ich robí oveľa presnejšími ako jednosmerné diferencie.

Smer sa potom normalizuje na jednotkový vektor û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), keďže smerovaná derivácia je definovaná pre smer jednotkovej dĺžky. Výsledkom je skalárny súčin D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, ktorý dáva okamžitú rýchlosť zmeny f v danom bode v tom smere.

Jednotky sledujú f: D_u f má jednotky f na jednotku prechádzanej vzdialenosti. Ak je smerový vektor nulový vektor, jeho dĺžka je nula a výsledok je nedefinovaný, takže v tomto prípade sa nevráti žiadna odpoveď. Maximálna možná smerovaná derivácia v bode sa rovná veľkosti gradientu |∇f| a nastáva v smere samotného gradientu; pohyb kolmý na gradient dáva nulu.

Často kladené otázky

Smerovaná derivácia je definovaná pozdĺž jednotkového smeru. Normalizovanie (u1, u2) jeho dĺžkou odstraňuje vplyv veľkosti vektora, takže výsledok odráža iba smer, nie to, aký dlhý vektor je.

Centrálne diferencie s h = 1e-5 majú chybu úmernú h², takže pre hladké funkcie je gradient typicky presný na mnoho platných číslic a úzko zodpovedá presným analytickým parciálnym deriváciám.

Smer samotného gradientu ∇f, kde D_u f sa rovná veľkosti gradientu |∇f|. Opačný smer dáva najzápornejšiu hodnotu a smery kolmé na ∇f dávajú nulu.

Známe aj ako

smerová derivácia

derivácia v smere

smerový vektor derivácia

gradient skalárny súčin smer

derivácia podľa smeru

directional derivative calculator

direction vector derivative

d_u f

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulačka smerovanej derivácie [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/sk/calculator/directional-derivative-calculator

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulačka smerovanej derivácie." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/sk/calculator/directional-derivative-calculator.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulačka smerovanej derivácie," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/sk/calculator/directional-derivative-calculator

BibTeX

@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Kalkulačka smerovanej derivácie}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/sk/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }

Pomohla vám táto kalkulačka?