Advanced

Kalkulačka vektora gradientu

Vypočítajte gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) funkcie dvoch premenných v zvolenom bode spolu s jeho veľkosťou.

Function f(x, y)

Pick a two-variable function

Magnitude |∇f|

4,4721

Length of the gradient vector at the point

∂f/∂x

∂f/∂y

Gradient ∇f

(2, 4)

Gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) — component partials combine into the steepest-ascent vector

Step by step

1
∂f/∂x at (x, y)
2
Estimated by central difference: [f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ 2h with h = 10⁻⁵.
2
∂f/∂y at (x, y)
4
3
Magnitude |∇f|
√(2² + 4²) = 4,4721

Výsledky sú odhady určené len na všeobecné informačné účely a nepredstavujú odborné poradenstvo — dôležité výsledky si vždy nezávisle overte, kým sa na ne spoľahnete. Prečítať si celé vylúčenie zodpovednosti.

Rýchla odpoveď

Ako táto kalkulačka funguje?

Gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) zbiera parciálne derivácie funkcie a ukazuje smerom k jej najstrmšiemu nárastu. Tento nástroj vyhodnocuje obe parciálne derivácie numericky centrálnymi diferenciami v zvolenom bode a hlási zložky aj veľkosť |∇f| = √(fx² + fy²), čiže rýchlosť najrýchlejšej zmeny v danom mieste.

Vzorec

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y), |∇f| = √( (∂f/∂x)² + (∂f/∂y)² )

How this is calculated

Gradient skalárnej funkcie f(x, y) je vektor jej prvých parciálnych derivácií, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Ukazuje smerom k najstrmšiemu nárastu f a jeho veľkosť |∇f| udáva rýchlosť tohto nárastu. Vyberte funkciu zo zoznamu a zadajte bod (x, y), v ktorom chcete gradient vyhodnotiť.

Každá parciálna derivácia sa odhaduje numericky pomocou symetrickej (centrálnej) diferenčnej formule, ∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) s malým krokom h = 1e-5, a analogicky pre ∂f/∂y. Centrálne diferencie majú druhý rád presnosti, takže pre hladké funkcie výsledok zodpovedá presnej analytickej derivácii na niekoľko desatinných miest. Veľkosť je potom Euklidovská norma dvoch zložiek.

Vstupy x a y sú reálne čísla v akýchkoľvek jednotkách, ktoré funkcia používa; zložky gradientu nesú jednotky f na jednotku x (alebo y). Vyhýbajte sa bodom, kde je funkcia nedefinovaná alebo singulárna — napríklad f = ln(x² + y²) sa blíži k nekonečnu v počiatku a veľmi malý menovateľ tam robí numerickú deriváciu nespoľahlivou. V lokálnom extréme alebo sedlovom bode je gradient nulový vektor, takže veľkosť je nula.

Často kladené otázky

Je to najstrmšia rýchlosť zmeny funkcie v danom bode. Vektor gradientu ukazuje smerom k najrýchlejšiemu nárastu a |∇f| je rýchlosť, akou f stúpa v tom smere na jednotku vzdialenosti.

Centrálne diferencie umožňujú nástroju vyhodnocovať gradient pre akúkoľvek zvolenú funkciu bez symbolickej diferenciácie. S krokom h = 1e-5 sú presné na relatívnu chybu zhruba 1e-10 pre hladké funkcie.

V kritických bodoch — lokálnych maximách, minimách a sedlových bodoch — obe parciálne derivácie miznú, takže ∇f = (0, 0) a veľkosť je 0.

Známe aj ako

gradient

gradientný vektor

nabla f

gradient funkcie

výpočet gradientu

gradient calculator

gradient vector

del f

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulačka vektora gradientu [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/sk/calculator/gradient-calculator

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulačka vektora gradientu." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/sk/calculator/gradient-calculator.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulačka vektora gradientu," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/sk/calculator/gradient-calculator

BibTeX

@misc{wecalculate_gradient_calculator, title = {Kalkulačka vektora gradientu}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/sk/calculator/gradient-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }

Pomohla vám táto kalkulačka?