Riešiteľ kvadratických rovníc
Vyriešte akúkoľvek kvadratickú rovnicu a zobrazte jej korene a diskriminant.
Dva reálne korene
- 1
b²
(-3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
Diskriminant
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
Vzorec
How this is calculated
Kvadratická rovnica má tvar ax² + bx + c = 0, kde a, b a c sú čísla, ktoré zadáte. Koeficient a násobí x² a nesmie byť nula — keby bol, rovnica by bola lineárna, nie kvadratická. Koeficient b násobí x a c je samostatný konštantný člen. Riešič uplatňuje kvadratický vzorec x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a, ktorý dáva presné hodnoty x, kde parabola pretína nulu.
Kľúčovou veličinou je diskriminant D = b² − 4ac, ktorý sa počíta ako prvý. Jeho znamienko rozhoduje o povahe koreňov bez ďalšej práce: D > 0 dáva dva rôzne reálne korene, D = 0 dáva jeden dvojnásobný reálny koreň (parabola sa len dotýka osi x) a D < 0 dáva dvojicu komplexne združených koreňov zapísaných ako re ± im·i.
Vstupy sú čisté čísla bez jednotiek, takže výsledky nesú akékoľvek jednotky, ktoré váš problém implikuje. Výpočty používajú štandardnú aritmetiku s pohyblivou rádovou čiarkou, takže veľmi veľké koeficienty alebo korene mimoriadne blízko seba môžu v zobrazených hodnotách vykazovať drobné rozdiely zaokrúhlenia.
Príklady
| Vstup | Výsledok |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
O tejto kalkulačke
Riešič kvadratických rovníc nájde hodnoty x, ktoré vyhovujú rovnici v tvare ax^2 + bx + c = 0, kde a, b a c sú konštanty a a nie je nula. Tieto riešenia sa nazývajú korene rovnice a graficky sú to body, kde parabola y = ax^2 + bx + c pretína vodorovnú os.
Riešič používa kvadratický vzorec, x = (-b plus alebo mínus druhá odmocnina z (b^2 - 4ac)) delené 2a. Výraz pod druhou odmocninou, b^2 - 4ac, sa nazýva diskriminant a rozhoduje o povahe koreňov ešte predtým, než dokončíte výpočet. Ak je diskriminant kladný, existujú dva odlišné reálne korene, ak je presne nula, existuje jeden dvojnásobný reálny koreň, a ak je záporný, existujú dva komplexne združené korene s imaginárnou jednotkou i.
Pri používaní nástroja zadajte tri koeficienty a, b a c presne tak, ako sa vyskytujú vo vašej rovnici, vrátane akýchkoľvek záporných znamienok. Riešič oznámi diskriminant, povie vám, koľko reálnych alebo komplexných koreňov existuje, a potom uvedie samotné korene. Zobrazenie diskriminantu ako prvého vám umožní pochopiť výsledok, namiesto toho aby ste len čítali číslo.
Interpretácia výstupu spočíva v priradení koreňov k diskriminantu. Dva reálne korene znamenajú, že parabola pretína os na dvoch miestach; jeden dvojnásobný koreň znamená, že sa osi iba dotýka vo svojom vrchole; a komplexné korene znamenajú, že parabola os nikdy nedosiahne. Reálny koreň môžete vždy overiť dosadením späť do pôvodnej rovnice, ktorá by mala vrátiť nulu.
Medzi bežné chyby patrí zadanie a ako nula, čo nie je vôbec kvadratická rovnica, ale lineárna rovnica, a vynechanie znamienka mínus pri prepise koeficientov, čo nenápadne mení odpoveď. Ľudia tiež niekedy zabúdajú, že odčítanie vo vnútri vzorca môže prevrátiť znamienka a že záporný diskriminant neznamená, že neexistuje riešenie, iba že riešenia sú komplexné, nie reálne.
Často kladené otázky
Diskriminant je b^2 - 4ac, časť pod druhou odmocninou v kvadratickom vzorci. Hovorí vám o povahe koreňov: kladný znamená dva odlišné reálne korene, nula znamená jeden dvojnásobný reálny koreň a záporný znamená dva komplexne združené korene.
Potom to vôbec nie je kvadratická rovnica, ale lineárna, bx + c = 0, s jediným riešením x = -c/b. Skutočná kvadratická rovnica vyžaduje, aby a bolo nenulové, inak člen x^2 zmizne a kvadratický vzorec sa nedá použiť.
Áno, keď sa diskriminant rovná presne nule. V tom prípade vzorec dáva jeden dvojnásobný koreň x = -b/(2a) a graficky sa parabola iba dotýka vodorovnej osi vo svojom vrchole namiesto toho, aby ju pretínala.
Znamená, že rovnica nemá žiadne reálne riešenia, ale dve komplexné, zapísané ako združené v tvare p plus alebo mínus qi. Parabola nikdy nepretína vodorovnú os, ale korene stále existujú v rámci sústavy komplexných čísel.
Dosaďte ho späť do pôvodnej rovnice ax^2 + bx + c. Ak je to skutočný koreň, výraz by sa mal vyhodnotiť na nulu (alebo veľmi blízko nej, s prihliadnutím na zaokrúhľovanie). Funguje to pre oba reálne korene.
Pre ax^2 + bx + c = 0 dávajú dva korene súčet -b/a a súčin c/a. Tieto vzťahy, známe ako Vietove vzorce, poskytujú rýchly spôsob, ako overiť výstup riešiča bez opätovného vykonania celého výpočtu.
Známe aj ako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Riešiteľ kvadratických rovníc [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/sk/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Riešiteľ kvadratických rovníc." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/sk/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Riešiteľ kvadratických rovníc," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/sk/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {Riešiteľ kvadratických rovníc}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/sk/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Pomohla vám táto kalkulačka?