Kalkulator smernega odvoda
Poiščite, kako hitro se funkcija f(x, y) spreminja v točki, ko se premikate vzdolž določene smeri.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Kako deluje ta kalkulator?
Smerni odvod D_u f meri, kako hitro se f(x, y) spreminja v točki pri premikanju vzdolž izbrane smeri. Enak je skalarnemu produktu gradienta ∇f = (fx, fy) z enotskim smernim vektorjem û. To orodje oceni gradient s centralnimi diferencami, normalizira vaš vektor in sporoči D_u f skupaj s parcialnimi odvodi.
Formula
How this is calculated
Izberite funkcijo f(x, y) in točko (x, y), nato podajte smerni vektor (u1, u2). Kalkulator najprej oceni gradient ∇f = (fx, fy) s simetričnim (centralnim) diferenčnim kvocientom z majhnim korakom h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) in fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Centralne diference se uporabljajo, ker je njihova napaka O(h²), kar jih naredi precej natančnejše od enostranskih diferenc.
Smer je nato normalizirana na enotski vektor û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), saj je smerni odvod definiran za smer enotske dolžine. Rezultat je skalarni produkt D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, ki da trenutno hitrost spremembe f v točki v tisti smeri.
Enote sledijo f: D_u f ima enote f na enoto prepotovane razdalje. Če je smerni vektor ničelni vektor, je njegova dolžina nič in rezultat ni definiran, zato v tem primeru ni odgovora. Največji možni smerni odvod v točki je enak absolutni vrednosti gradienta |∇f| in nastopi v smeri gradienta; premikanje pravokotno na gradient da nič.
Pogosta vprašanja
Smerni odvod je definiran vzdolž enotske smeri. Normalizacija (u1, u2) z njegovo dolžino odstrani vpliv velikosti vektorja, tako da rezultat odraža le smer, ne pa dolžino vektorja.
Centralne diference z h = 1e-5 imajo napako sorazmerno h², zato je gradient za gladke funkcije tipično natančen do številnih pomembnih mest, kar se tesno ujema z natančnimi analitičnimi parcialnimi odvodi.
Smer gradienta ∇f samega, kjer D_u f enači absolutno vrednost gradienta |∇f|. Nasprotna smer da najbolj negativno vrednost, smeri pravokotne na ∇f pa dajo nič.
Znano tudi kot
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator smernega odvoda [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/sl/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator smernega odvoda." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/sl/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator smernega odvoda," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/sl/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Kalkulator smernega odvoda}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/sl/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Vam je ta kalkulator pomagal?