Калькулятор методу середніх прямокутників
Оцініть значення визначеного інтеграла, підсумовуючи площі прямокутників, висоти яких беруться в середині кожного підінтервалу.
Function f(x)
Midpoint rule estimate
- 1
Subinterval width Δx = (b − a) ÷ n
(2 − 0) ÷ 4 = 0,5 - 2
Sum of 4 midpoint heights Σf(mᵢ)
5,25 - 3
Integral ≈ Δx × Σf(mᵢ)
0,5 × 5,25 = 2,6250The midpoint rule evaluates the function at the centre of each strip, balancing over- and under-estimates.
Як працює цей калькулятор?
Метод середніх прямокутників наближає визначений інтеграл, розбиваючи [a, b] на n рівних смуг шириною Δx = (b − a)/n, обчислюючи функцію в середині кожної смуги й підсумовуючи ці висоти, помножені на Δx. Він точний для лінійних функцій, а його похибка спадає як 1/n², тому більше n дає кращі наближення.
Формула
How this is calculated
Метод середніх прямокутників — це метод суми Рімана для чисельного інтегрування. Оберіть функцію f(x), нижню межу a, верхню межу b і кількість рівних підінтервалів n. Калькулятор спочатку обчислює спільну ширину Δx = (b − a) / n, розбиваючи [a, b] на n смуг.
Для кожної смуги i (від 0 до n − 1) він обчислює функцію в середній точці mₚ = a + (i + 0.5)·Δx і вважає f(mₚ) висотою прямокутника. Множення кожної висоти на Δx дає площу прямокутника, а сума всіх прямокутників дає наближення Δx · Σ f(mₚ). Використання середньої точки замість лівого чи правого кінця зазвичай компенсує перевищення та недооцінку, тому метод середніх прямокутників точний для лінійних функцій і має другий порядок точності.
Межі можна задавати в будь-якому порядку, але інтеграл зберігає знакову угоду a → b. Похибка зменшується приблизно як 1/n² зі збільшенням n, тоді як функції з різкою кривизною або особливостями (наприклад, 1/x, що перетинає нуль) потребують більшої кількості підінтервалів або домену, що уникає особливої точки. Кутові функції (sin, cos) використовують радіани.
Поширені запитання
Вибірка в середній точці балансує частини прямокутника, що знаходяться вище та нижче кривої, тому метод середніх прямокутників точніший, ніж ліва або права сума Рімана для того самого n, і точний для прямих ліній.
Збільшіть кількість підінтервалів n. Похибка методу середніх прямокутників зменшується приблизно пропорційно до 1/n², тому подвоєння n зменшує похибку приблизно вчетверо.
Так. Якщо a більше за b, ширина Δx стає від'ємною, і наближення матиме правильний знак, що відповідає ∫ₐᵇ = −∫_bᵃ.
Також відомий як
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор методу середніх прямокутників [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/midpoint-rule-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор методу середніх прямокутників." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/midpoint-rule-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор методу середніх прямокутників," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/midpoint-rule-calculator
@misc{wecalculate_midpoint_rule_calculator, title = {Калькулятор методу середніх прямокутників}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/midpoint-rule-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Чи допоміг вам цей калькулятор?