Калькулятор від'ємного біноміального розподілу

Формула

How this is calculated

Від'ємний біноміальний (Паскалів) розподіл моделює кількість невдач X = k, що відбуваються до r-го успіху, де кожне незалежне випробування успішне з імовірністю p. Функція маси імовірності має вигляд P(X = k) = C(k + r − 1, k) · p^r · (1 − p)^k для k = 0, 1, 2, …. Біноміальний коефіцієнт підраховує розташування перших k невдач та r − 1 успіхів серед перших k + r − 1 випробувань; останнє випробування завжди є r-м успіхом. Цей калькулятор обчислює коефіцієнт через функцію лог-гамма, тому він залишається чисельно стійким для великих r та k.

Введіть r (потрібна кількість успіхів, додатне ціле число), p (імовірність успіху в одному випробуванні від 0 до 1) та k (кількість невдач). Перемикач режиму вибирає між точковою імовірністю P(X = k), нижньою кумулятивною P(X ≤ k) та верхнім хвостом P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Середня кількість невдач дорівнює r(1 − p)/p, а дисперсія — r(1 − p)/p², тому розкид швидко зростає при наближенні p до 0.

Передумови: випробування незалежні та однаково розподілені, p стале, а підрахунки є невід'ємними цілими числами (k округлюється). Результат не визначений при p ≤ 0 або p > 1; при p → 1 розподіл зосереджується близько k = 0, оскільки успіхи настають майже миттєво.