Калькулятор методу Ньютона
Метод Ньютона швидко наближає корінь функції, послідовно проводячи дотичну до осі x.
Function f(x)
Converged in 5 iterations
Як працює цей калькулятор?
Метод Ньютона знаходить корінь f(x), ітеруючи x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n) з початкового наближення x₀. Цей інструмент використовує числову похідну та зупиняється, коли крок менший за 1e-10 або після 50 ітерацій, повідомляючи наближений корінь і кількість виконаних ітерацій.
Формула
How this is calculated
Оберіть функцію f(x) і початкове наближення x₀. Калькулятор ітерує оновлення Ньютона–Рафсона x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n), де похідна f′(x_n) оцінюється чисельно за допомогою центральної різниці, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) з h = 1e-6. Це позбавляє від необхідності символьної похідної, залишаючись точним.
Ітерація продовжується, поки розмір кроку |Δ| = |f(x_n)/f′(x_n)| не стане меншим за 1e-10 (збіжність) або не буде виконано 50 кроків. Кінцеве x повідомляється як наближений корінь, разом із кількістю ітерацій і лишком f(root), який повинен бути близьким до нуля для хорошого розв'язку.
Метод Ньютона збігається дуже швидко (квадратично) поблизу простого кореня, але може зазнати невдачі або розбігтися, якщо початкове наближення погане, якщо похідна дорівнює нулю в якомусь ітерованому значенні або для функцій із пласкими ділянками або кількома коренями. Вибір x₀ близько до очікуваного кореня та перевірка лишку захищає від цих крайніх випадків.
Поширені запитання
Якщо початкове наближення далеко від кореня, якщо f′(x) дорівнює нулю або дуже мале в якомусь ітерованому значенні, або якщо функція коливається, ітерація може розбігтися або стрибати між значеннями. Спробуйте іншу початкову точку, ближчу до місця, де ви очікуєте корінь.
Вона наближається чисельно за допомогою центральної різниці, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) з h = 1e-6, тому ручне обчислення похідної не потрібне.
Лишок — це f(root): значення функції в обчисленому корені. Лишок, дуже близький до нуля, свідчить про те, що наближення точне.
Також відомий як
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор методу Ньютона [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/newtons-method-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор методу Ньютона." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/newtons-method-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор методу Ньютона," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/newtons-method-calculator
@misc{wecalculate_newtons_method_calculator, title = {Калькулятор методу Ньютона}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/newtons-method-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Чи допоміг вам цей калькулятор?