Калькулятор рядків трикутника Паскаля
Введіть індекс рядка n і миттєво отримайте повний n-й рядок трикутника Паскаля разом із його сумою та найбільшим коефіцієнтом.
Sum of all coefficients in this row
- 1
C(n,0) = 1
1Every row starts with 1. - 2
C(n,1) = C(n,0) × n ÷ 1
1 × 6 ÷ 1 = 6 - 3
Row sum = 2^n
2^6 = 64The sum of all binomial coefficients in row n equals 2^n (binomial theorem with x=y=1).
Як працює цей калькулятор?
Введіть індекс рядка n, і цей інструмент поверне n-й рядок трикутника Паскаля — біноміальні коефіцієнти C(n,0) до C(n,n). Він будує їх за рекурентним співвідношенням C(n,k) = C(n,k−1)·(n−k+1)/k, показує симетричну дзвоноподібну форму, кількість доданків (n+1) і підтверджує, що сума рядка дорівнює 2^n.
Формула
How this is calculated
Трикутник Паскаля — це масив біноміальних коефіцієнтів, де кожен елемент дорівнює сумі двох елементів безпосередньо над ним. Єдине вхідне число n — це 0-індексований номер рядка: рядок 0 — це [1], рядок 1 — [1, 1], рядок 2 — [1, 2, 1] і так далі. Калькулятор будує рядок ітеративно, а не обчислює кожен факторіал окремо. Він починає з C(n,0) = 1 і застосовує рекурентне співвідношення C(n,k) = C(n,k−1) · (n−k+1) / k для k від 1 до n. Оскільки кожне проміжне значення є точним цілим числом, цей мультиплікативний метод уникає переповнення, яке виникло б при прямому обчисленні n!, і значно швидший.
Рядок має n + 1 доданків, є симетричним (C(n,k) = C(n,n−k)) і утворює дзвоноподібний розподіл із піком посередині. Сума всіх коефіцієнтів у рядку n дорівнює 2^n, що випливає з біноміальної теореми при x = y = 1: (1 + 1)^n = Σ C(n,k). Ці коефіцієнти є точно множниками, що з'являються при розкладанні (x + y)^n.
Вхідне значення повинно бути невід'ємним цілим числом. Нецілі, від'ємні або порожні значення не дають результату. Для дуже великих n коефіцієнти перевищують точність числа з плаваючою точкою подвійної точності, тому результати вище кількох сотень слід вважати наближеними.
Поширені запитання
Рядок 0 — це просто [1]. Трикутник індексується з нуля, тому верхня одиниця — це рядок 0, [1, 1] — рядок 1, а [1, 2, 1] — рядок 2.
Підстановка x = y = 1 у біноміальну теорему дає (1 + 1)^n = Σ C(n,k), тому коефіцієнти рядка n завжди у сумі дають 2^n.
Калькулятор використовує рекурентне співвідношення C(n,k) = C(n,k−1)·(n−k+1)/k починаючи з C(n,0) = 1, що тримає кожен крок як точне ціле число та уникає переповнення факторіалів.
Також відомий як
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор рядків трикутника Паскаля [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/pascals-triangle-row-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор рядків трикутника Паскаля." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/pascals-triangle-row-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор рядків трикутника Паскаля," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/pascals-triangle-row-calculator
@misc{wecalculate_pascals_triangle_row_calculator, title = {Калькулятор рядків трикутника Паскаля}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/pascals-triangle-row-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Чи допоміг вам цей калькулятор?