Калькулятор розкладу за формулою бінома Ньютона
Розкладіть будь-який двочлен (a + b)^n почленно та зчитайте кожний біноміальний коефіцієнт.
- 1
Base sum a + b
1 + 2 = 3 - 2
Number of terms n + 1
4 + 1 = 5 - 3
Total (a + b)ⁿ — sum of all binomial terms
81The binomial theorem guarantees this equals the sum of all C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ terms.
Як працює цей калькулятор?
Бінома Ньютона розкладає (a + b)^n на n+1 доданків, кожен з яких дорівнює C(n,k)·a^(n-k)·b^k для k = 0…n. Коефіцієнти C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) — це елементи трикутника Паскаля. Цей інструмент перелічує кожний доданок, його коефіцієнт та значення, а також перевіряє, що сума доданків дорівнює (a + b)^n.
Формула
How this is calculated
Бінома Ньютона розкладає степінь суми (a + b)^n на суму n+1 доданків. k-й доданок (для k = 0, 1, …, n) дорівнює C(n,k)·a^(n-k)·b^k, де біноміальний коефіцієнт C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) рахує кількість способів вибрати k елементів з n. Введіть перший доданок a, другий доданок b та показник n.
Коефіцієнти C(n,k) утворюють n-й рядок трикутника Паскаля та є симетричними: C(n,k) = C(n,n-k). Тут вони обчислюються за мультиплікативною формулою C(n,k) = Π[i=1..k] (n-k+i)/i, що дозволяє уникнути безпосереднього обчислення великих факторіалів та зберігає цілочисельну точність коефіцієнтів. Кожен вихідний доданок відображає свій коефіцієнт, символьний вигляд та числове значення для заданих a і b; горизонтальні смуги порівнюють величину |значення| кожного доданка.
Показник n має бути невід'ємним цілим числом (тут обмежено діапазоном 0–60, щоб числа залишалися скінченними). Сума всіх числових доданків точно дорівнює (a + b)^n, що слугує вбудованою перевіркою. Доданки можуть бути від'ємними, якщо a або b від'ємні, тому смуги використовують абсолютне значення, тоді як відображуваний підпис зберігає знак.
Поширені запитання
Вона стверджує, що (a + b)^n = Σ C(n,k)·a^(n-k)·b^k для k від 0 до n. Вона перетворює степінь двочленної суми на явну суму n+1 доданків, коефіцієнти яких є біноміальними.
Коефіцієнти C(n,0), C(n,1), …, C(n,n) — це точно елементи n-го рядка трикутника Паскаля. Кожен елемент є сумою двох елементів над ним, і рядок є симетричним.
Скінченна бінома Ньютона, що використовується тут, вимагає, щоб n було невід'ємним цілим числом. Від'ємні або дробові показники дають нескінченний ряд замість скінченного розкладу, який цей калькулятор не обчислює.
Також відомий як
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор розкладу за формулою бінома Ньютона [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/binomial-expansion-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор розкладу за формулою бінома Ньютона." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/binomial-expansion-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор розкладу за формулою бінома Ньютона," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/binomial-expansion-calculator
@misc{wecalculate_binomial_expansion_calculator, title = {Калькулятор розкладу за формулою бінома Ньютона}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/binomial-expansion-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Чи допоміг вам цей калькулятор?