TG we-Calculate logoTG we-Calculate
Усі калькулятори
Advanced

Калькулятор власних значень матриці 2×2

Обчисліть власні значення будь-якої матриці 2×2, розв'язавши її характеристичне рівняння — отримайте дійсні або комплексно-спряжені корені.
Enter four numbers: row 1 then row 2 (space or comma separated).
First eigenvalue λ₁
5

Second eigenvalue λ₂: 2

Eigenvalue λ₁
5
Eigenvalue λ₂
2
Trace (T)
7
Determinant (D)
10
Discriminant (Δ)
9
Root type
Real
Unit square after linear transformation by the matrix
Step by step
  1. 1

    Trace T = a + d

    4 + 3 = 7
  2. 2

    Determinant D = ad − bc

    4 × 3 − 1 × 2 = 10
  3. 3

    Discriminant Δ = T² − 4D

    7² − 4 × 10 = 9
  4. 4

    Eigenvalue λ₁ = (T + √Δ) ÷ 2

    (7 + 3) ÷ 2 = 5
Результати є приблизними оцінками лише для загального ознайомлення та не є професійною порадою — завжди самостійно перевіряйте важливі результати, перш ніж покладатися на них. Прочитати повне застереження.
Швидка відповідь

Як працює цей калькулятор?

Для матриці 2×2 A = [[a,b],[c,d]] власні значення задовольняють рівняння λ² − Tλ + D = 0, де слід T = a+d та визначник D = ad−bc. За формулою квадратного рівняння λ = (T ± √(T²−4D))/2. Невід'ємний дискримінант дає дійсні корені; від'ємний — комплексно-спряжену пару.

Формула
λ² − Tλ + D = 0, де T = a + d (слід), D = ad − bc (визначник); λ = (T ± √(T² − 4D)) / 2
How this is calculated

Введіть матрицю 2×2 A = [[a, b], [c, d]] у вигляді двох рядків по два числа. Калькулятор зчитує всі чотири елементи, а потім обчислює слід T = a + d та визначник D = ad − bc. Ці два скаляри повністю визначають власні значення матриці 2×2.

Власні значення є коренями характеристичного многочлена det(A − λI) = λ² − Tλ + D = 0. Розв'язання за формулою квадратного рівняння дає λ = (T ± √Δ)/2, де дискримінант Δ = T² − 4D. Коли Δ ≥ 0, два власних значення дійсні (рівні, коли Δ = 0); коли Δ < 0, вони утворюють комплексно-спряжену пару λ = T/2 ± (√(−Δ)/2)·i.

Усі елементи розглядаються як точні дійсні числа, результати округлюються до чотирьох значущих цифр для відображення. Метод працює для будь-якої дійсної матриці 2×2, включаючи виродженні матриці (D = 0, що дає власне значення 0) та випадки кратних коренів. Зауважте, що власні значення описують напрямки масштабування лінійного відображення; відповідні власні вектори тут не обчислюються.

Поширені запитання

Коли дискримінант Δ = T² − 4D від'ємний. Тоді корені є комплексно-спряженою парою T/2 ± (√(−Δ)/2)·i, що зазвичай вказує на обертальну поведінку лінійного відображення.

Слід дорівнює сумі власних значень (λ₁ + λ₂ = T), а визначник — їхньому добутку (λ₁·λ₂ = D). Ці співвідношення є швидким способом перевірки обчислених значень.

Так. Коли Δ = 0, матриця має кратне власне значення λ = T/2. Матриця може бути або не бути діагоналізовною в цьому випадку, але єдине власне значення визначено правильно.

Також відомий як

власні значення
власні числа матриці
характеристичне рівняння
власні значення 2x2
лямбда матриці
власні значення матриці

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор власних значень матриці 2×2 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/eigenvalue-calculator-2x2

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор власних значень матриці 2×2." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/eigenvalue-calculator-2x2.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор власних значень матриці 2×2," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/eigenvalue-calculator-2x2

BibTeX

@misc{wecalculate_eigenvalue_calculator_2x2, title = {Калькулятор власних значень матриці 2×2}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/eigenvalue-calculator-2x2}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }

Чи допоміг вам цей калькулятор?

Пов'язані калькулятори

Розв'язувач кубічних рівнянь

Розв'яжіть ax^3+bx^2+cx+d=0 для всіх дійсних та комплексних коренів із побудовою графіка кубічної кривої.

Advanced

Розв'язувач квадратних рівнянь

Розв'яжіть ax² + bx + c = 0 за формулою коренів квадратного рівняння — дійсні та комплексні корені, а також дискримінант.

Beginner

Розв'язувач системи рівнянь (2x2)

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь 2x2 за правилом Крамера. Введіть коефіцієнти, щоб миттєво знайти x та y, з визначником і виявленням граничних випадків.

Beginner

Калькулятор розкладання квадратного тричлена

Розкладіть ax^2+bx+c у вигляді a(x-r1)(x-r2) через корені, з дійсним або комплексним результатом.

Intermediate

Калькулятор оберненої матриці

Знайдіть обернену матрицю до матриці 2×2 або 3×3 за допомогою визначника та приєднаної матриці. Введіть рядки чисел; матриця не повинна бути виродженою.

Intermediate

Розв'язувач рівнянь з модулем

Розв'яжіть |ax+b|=c відносно x та побудуйте графік y=|ax+b| поряд з y=c, щоб побачити точки перетину.

Beginner