Розв'язувач квадратних рівнянь
Розв'яжіть будь-яке квадратне рівняння та побачте його корені й дискримінант.
Два дійсні корені
- 1
b²
(-3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
Дискримінант
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
Формула
How this is calculated
Квадратне рівняння має форму ax² + bx + c = 0, де a, b і c — числа, які ви вводите. Коефіцієнт a множить x² і не має дорівнювати нулю — якби він був нулем, рівняння було б лінійним, а не квадратним. Коефіцієнт b множить x, а c — окремий вільний член. Розв'язувач застосовує формулу коренів квадратного рівняння x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a, яка дає точні значення x, де парабола перетинає нуль.
Ключова величина — дискримінант, D = b² − 4ac, який обчислюється першим. Його знак визначає характер коренів без будь-якої додаткової роботи: D > 0 дає два різних дійсних корені, D = 0 дає один кратний дійсний корінь (парабола лише торкається осі x), а D < 0 дає пару комплексно-спряжених коренів, записаних як re ± im·i.
Вхідні дані — чисті числа без одиниць, тож результати несуть ті одиниці, які передбачає ваша задача. Обчислення використовують стандартну арифметику з рухомою комою, тож дуже великі коефіцієнти або корені, надзвичайно близькі один до одного, можуть показувати крихітні відмінності округлення у відображених значеннях.
Приклади
| Ввід | Результат |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
Про цей калькулятор
Розв'язувач квадратних рівнянь знаходить значення x, що задовольняють рівняння виду ax^2 + bx + c = 0, де a, b і c — константи, а a не дорівнює нулю. Ці розв'язки називаються коренями рівняння, і графічно це точки, де парабола y = ax^2 + bx + c перетинає горизонтальну вісь.
Розв'язувач застосовує квадратну формулу: x = (-b плюс або мінус квадратний корінь з (b^2 - 4ac)), поділене на 2a. Вираз під квадратним коренем, b^2 - 4ac, називається дискримінантом, і він визначає природу коренів ще до того, як ви завершите розрахунок. Якщо дискримінант додатний, є два різні дійсні корені; якщо він точно дорівнює нулю, є один повторюваний дійсний корінь; а якщо він від'ємний, є два комплексно-спряжені корені з уявною одиницею i.
Щоб скористатися інструментом, введіть три коефіцієнти a, b і c точно так, як вони з'являються у вашому рівнянні, включно з будь-якими знаками мінус. Розв'язувач повідомляє дискримінант, каже вам, скільки дійсних чи комплексних коренів існує, а потім дає самі корені. Показ дискримінанта першим дозволяє вам зрозуміти результат, а не просто прочитати число.
Інтерпретація результату полягає в зіставленні коренів із дискримінантом. Два дійсні корені означають, що парабола перетинає вісь у двох місцях; один повторюваний корінь означає, що вона лише торкається осі у своїй вершині; а комплексні корені означають, що парабола взагалі не досягає осі. Ви завжди можете перевірити дійсний корінь, підставивши його назад у вихідне рівняння, що має дати нуль.
Поширені помилки включають введення a як нуля, що взагалі не є квадратним рівнянням, а лінійним, і пропуск знака мінус при переписуванні коефіцієнтів, що непомітно змінює відповідь. Люди також іноді забувають, що віднімання всередині формули може змінювати знаки, і що від'ємний дискримінант не означає відсутності розв'язку, а лише те, що розв'язки комплексні, а не дійсні.
Поширені запитання
Дискримінант — це b^2 - 4ac, частина під квадратним коренем у квадратній формулі. Він каже вам природу коренів: додатний означає два різні дійсні корені, нуль означає один повторюваний дійсний корінь, а від'ємний означає два комплексно-спряжені корені.
Тоді це взагалі не квадратне рівняння, а лінійне, bx + c = 0, з єдиним розв'язком x = -c/b. Справжнє квадратне рівняння вимагає, щоб a було ненульовим, інакше член x^2 зникає, і квадратна формула не може застосуватися.
Так, коли дискримінант точно дорівнює нулю. У цьому випадку формула дає один повторюваний корінь x = -b/(2a), а графічно парабола лише торкається горизонтальної осі у своїй вершині, а не перетинає її.
Це означає, що рівняння не має дійсних розв'язків, але має два комплексні, записані як спряжені виду p плюс або мінус qi. Парабола ніколи не перетинає горизонтальну вісь, але корені все одно існують у системі комплексних чисел.
Підставте його назад у вихідне рівняння ax^2 + bx + c. Якщо значення є справжнім коренем, вираз має дорівнювати нулю (або бути надзвичайно близьким до нього з урахуванням округлення). Це працює для обох дійсних коренів.
Для ax^2 + bx + c = 0 два корені в сумі дають -b/a і в добутку дають c/a. Ці співвідношення, відомі як формули Вієта, дають швидкий спосіб перевірити правильність виводу розв'язувача без повторення всього розрахунку.
Також відомий як
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Розв'язувач квадратних рівнянь [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Розв'язувач квадратних рівнянь." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Розв'язувач квадратних рівнянь," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {Розв'язувач квадратних рівнянь}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Чи допоміг вам цей калькулятор?