Калькулятор чисел Каталана
Знайдіть n-те число Каталана та подивіться, як послідовність 1, 1, 2, 5, 14, 42, … стрімко зростає із збільшенням n.
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3,333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3,333333 = 1 430
Як працює цей калькулятор?
n-те число Каталана — це Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!). Воно підраховує збалансовані дужки, повні двійкові дерева, ґраткові шляхи та триангуляції многокутників. Послідовність починається з 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … і зростає приблизно як 4ⁿ. Введіть будь-яке ціле число n ≥ 0, щоб отримати Cₙ та повну криву зростання.
Формула
How this is calculated
Введіть невід'ємне ціле число n. Числа Каталана Cₙ підраховують величезну родину комбінаторних об'єктів: кількість способів правильно розставити n пар дужок, кількість повних двійкових дерев з n+1 листами, кількість монотонних ґраткових шляхів, що залишаються нижче діагоналі, та кількість триангуляцій опуклого (n+2)-кутника — усі вони рівні одному й тому самому Cₙ.
Замкнута форма: Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!), що еквівалентно центральному біноміальному коефіцієнту C(2n, n), поділеному на (n+1). Обчислення факторіалів безпосередньо швидко призводить до переповнення, тому цей калькулятор використовує точне цілочисельне рекурентне співвідношення C₀ = 1 та C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2). Кожен крок множить на цілочисельний множник, підтримуючи поточне значення точним настільки довго, наскільки дозволяє подвійна точність, і будує повну послідовність C₀…Cₙ, зображену на кривій зростання.
Значення є безрозмірними підрахунками, тому значущим є лише ціле n ≥ 0; дробові вхідні дані округлюються до цілого. Оскільки Cₙ зростає приблизно як 4ⁿ / (n^{3/2}√π), числа виходять за межі точного цілочисельного діапазону 64-бітного числа з плаваючою точкою приблизно при n = 30 і повністю переповнюються при n ≈ 170, тому вхідні дані обмежені 170, а великі результати відображаються в науковій нотації.
Поширені запитання
Послідовність починається: C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429 та C₈ = 1430.
З рекурентного співвідношення Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1), що прагне до 4 при зростанні n. Це відображає асимптотичне зростання Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π).
Числа Каталана ростуть експоненційно. При n ≈ 170 значення перевищує максимально представляване число подвійної точності (~1.8×10³⁰⁸), тому більші вхідні дані не можна обчислити точно зі стандартною арифметикою з плаваючою точкою.
Також відомий як
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор чисел Каталана [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор чисел Каталана." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор чисел Каталана," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/catalan-number-calculator
@misc{wecalculate_catalan_number_calculator, title = {Калькулятор чисел Каталана}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/catalan-number-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Чи допоміг вам цей калькулятор?