Калькулятор площі поверхні обертання

Формула

How this is calculated

Оберіть функцію f(x) та межі інтегрування a і b. При обертанні кривої y = f(x) навколо осі x кожна точка описує коло радіуса |f(x)|, а нескінченно мала довжина дуги ds = √(1 + f′(x)²) dx описує тонкий фрагмент усіченого конуса з бічною поверхнею 2π·|f(x)|·ds. Інтегрування дає сумарну площу поверхні S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx.

Похідна f′(x) оцінюється чисельно за допомогою симетричної центральної різниці, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) при h = 1e-6, що забезпечує точність другого порядку. Визначений інтеграл обчислюється складеним методом Сімпсона на n = 1000 підінтервалах, похибка якого становить O(h⁴) і забезпечує високу точність для гладких підінтегральних функцій. Якщо введено a > b, межі автоматично міняються місцями, щоб площа залишалась додатною.

Модуль |f(x)| гарантує невід'ємність радіуса навіть там, де f опускається нижче осі. Результати справедливі за умови, що f є неперервною та диференційовною на [a, b]; гострі кути або вертикальні дотичні (наприклад, √x при x = 0) можуть дещо знижувати точність. Одиниці результату — квадрат одиниць, використаних для x і f.