Калькулятор многочлена Тейлора
Побудуйте многочлен Тейлора n-го порядку функції навколо центра c, обчисліть його в точці x та виміряйте близькість до точного значення.
Function f(x)
Approximation of f(x) from the truncated Taylor series
Як працює цей калькулятор?
Многочлен Тейлора апроксимує функцію поблизу центра c за формулою Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(c)(x − c)ᵏ⁄k!. Оберіть функцію, центр, точку обчислення та порядок; інструмент повертає наближення, точне значення та абсолютну похибку, а також графік порівняння обох кривих, що показує, як якість апроксимації знижується при віддаленні від c.
Формула
How this is calculated
Многочлен Тейлора апроксимує гладку функцію поблизу обраного центра c, використовуючи її похідні в цій точці. Кожний доданок додає f⁽ᵏ⁾(c)·(x − c)ᵏ⁄k!, тому вільний член відтворює f(c), лінійний член відповідає нахилу, квадратичний — кривизні, і так далі до порядку n. При c = 0 це ряд Маклорена.
Ви обираєте функцію, центр c, точку обчислення x та порядок n. Похідні f⁽ᵏ⁾(c) обчислюються чисельно за допомогою центральних скінченних різниць k-го порядку, потім діляться на k! та множаться на степені (x − c) і підсумовуються. Калькулятор виводить наближення Pₙ(x), точне значення f(x) та абсолютну похибку |f(x) − Pₙ(x)|.
Точність зростає зі збільшенням n і при наближенні x до c, оскільки залишок веде себе як (x − c)ⁿ⁺¹. Для ln(1 + x) область визначення вимагає x > −1, а 1/(1 − x) має сингулярність при x = 1, і ряд Тейлора збігається лише при |x − c|, що не виходить за межі радіуса збіжності. Оскільки похідні оцінюються через скінченні різниці, при дуже високих порядках може накопичуватися невелика похибка округлення.
Поширені запитання
Ряд Маклорена — це просто ряд Тейлора з центром у c = 0. Встановіть центр у 0, щоб отримати ряд Маклорена.
Залишок Тейлора пропорційний (x − c)ⁿ⁺¹, тому точки, далекі від центра, вимагають вищого порядку n для збереження точності, а деякі функції збігаються лише в межах скінченного радіуса.
Кожна f⁽ᵏ⁾(c) апроксимується центральними скінченними різницями k-го порядку, після чого поєднується з факторіалом та степеневими доданками для формування многочлена.
Також відомий як
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор многочлена Тейлора [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/taylor-polynomial-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор многочлена Тейлора." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/taylor-polynomial-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор многочлена Тейлора," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/taylor-polynomial-calculator
@misc{wecalculate_taylor_polynomial_calculator, title = {Калькулятор многочлена Тейлора}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/taylor-polynomial-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Чи допоміг вам цей калькулятор?