梯度向量計算器
計算二元函數在指定點的梯度 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) 及其模長。
Function f(x, y)
Length of the gradient vector at the point
- 1
∂f/∂x at (x, y)
2Estimated by central difference: [f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ 2h with h = 10⁻⁵. - 2
∂f/∂y at (x, y)
4 - 3
Magnitude |∇f|
√(2² + 4²) = 4.4721
此計算機如何運作？
梯度 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) 彙集函數的偏導數，並指向最陡上升方向。本工具以中央差分法數值計算指定點的兩個偏導數，並回報各分量及模長 |∇f| = √(fx² + fy²)（即該點最快變化速率）。
公式
How this is calculated
純量函數 f(x, y) 的梯度是其一階偏導數的向量，∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)。它指向 f 最陡上升的方向，其模長 |∇f| 給出該上升的速率。從列表中選擇函數並輸入要計算梯度的點 (x, y)。
每個偏導數均使用對稱（中央）差分公式數值估計：∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h)，步長 h = 1e-5，∂f/∂y 同理。中央差分具有二階精度，因此對平滑函數而言，結果與精確的解析導數相差無幾。模長即兩個分量的歐幾里得範數。
輸入 x 和 y 為函數使用單位下的實數；梯度分量的單位為 f 值每單位 x（或 y）的變化量。應避免函數無定義或奇異的點——例如 f = ln(x² + y²) 在原點處發散，極小的分母使數值導數不可靠。在局部極值或鞍點處，梯度為零向量，模長為零。
常見問題
它是函數在該點最陡的變化速率。梯度向量指向 f 增加最快的方向，|∇f| 即沿該方向每單位距離 f 的上升速率。
中央差分法讓工具無需符號求導即可對任意所選函數估計梯度。步長 h = 1e-5 時，對平滑函數的相對誤差約為 1e-10。
在臨界點——局部極大值、極小值和鞍點——兩個偏導數均消失，因此 ∇f = (0, 0)，模長為 0。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 梯度向量計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/gradient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "梯度向量計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/gradient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "梯度向量計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/gradient-calculator
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