數值微分計算器
使用簡單精確的數值公式估算函數在任意點的瞬時斜率。
Function f(x)
Estimated slope of the tangent line at a
- 1
f(a)
f(2) = 4 - 2
f(a + h)
f(2 + 0.00001) = 4.00004 - 3
f(a − h)
f(2 − 0.00001) = 3.99996 - 4
Numerator f(a+h) − f(a−h)
4.00004 − 3.99996 = 0.00008 - 5
Derivative f'(a) = numerator ÷ (2h)
0.00008 ÷ (2 × 0.00001) = 4Central difference: averaging forward and backward slopes cancels the leading error term.
此計算機如何運作？
此工具使用中央差分公式 f'(a) ≈ (f(a+h) − f(a−h)) / (2h) 估算函數在點 a 處的導數。選擇函數、點和微小步長 h（預設 1e-5）。它回傳切線的斜率，精確到 h² 階，無需符號微積分。
公式
How this is calculated
從列表中選擇函數 f、想求斜率的點 a，以及微小步長 h。計算器在 a+h 和 a−h 處評估 f，然後應用中央差分公式 f'(a) ≈ (f(a+h) − f(a−h)) / (2h)。此式對前向和後向斜率求平均，消除了一階誤差項，使估算精確到 h² 階，遠優於單側差分。
中央差分不需要符號代數：它只對函數取樣。選擇約 h = 1e-5 的步長可在截斷誤差（h 過大）與浮點捨入誤差（h 過小）之間取得平衡。對於光滑函數，通常可以得到 6 位或更多正確數字。結果是 y = f(x) 在 x = a 處切線的估算斜率。
假設：f 在 a、a+h 和 a−h 處必須有定義且有限。對於 ln x 和 sqrt x，點 a 必須為正；對於 1/x，點 a 必須非零。在奇點、折點或非常陡峭的區域附近，估算精度會下降，因為函數在取樣區間上不再光滑。
常見問題
中央差分 (f(a+h) − f(a−h)) / (2h) 精確到 h² 階，而前向差分 (f(a+h) − f(a)) / h 只有 h 階。對於相同的步長，中央差分公式能給出更多正確數字。
約 1e-5 對大多數光滑函數都適用。太大時近似誤差增大；太小時浮點捨入誤差佔主導。如果結果看起來有雜訊，請嘗試稍微增大 h。
這些函數在其定義域之外未定義。ln x 和 sqrt x 要求 a > 0，1/x 要求 a ≠ 0。取樣點 a±h 也必須保持在定義域內。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 數值微分計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/numerical-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "數值微分計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/numerical-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "數值微分計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/numerical-derivative-calculator
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