二階導數計算機
本計算機估算所選函數在某點的二階導數 f″(a)，並報告該點曲線是凹上還是凹下。
Function f(x)
Concave up
- 1
f(a)
f(x) = x² at x = 1 = 1 - 2
f(a + h)
h = 0.0001, f(1 + 0.0001) = 1.0002Small step h = 1×10⁻⁴ used for numerical differentiation. - 3
f(a − h)
f(1 − 0.0001) = 0.9998 - 4
f''(a) = (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) ÷ h²
(1.0002 − 2 × 1 + 0.9998) ÷ 0 = 2
此計算機如何運作？
二階導數 f''(a) 衡量函數斜率在某點的變化率。本工具以數值方式估算 (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) / h²。若 f''(a) 為正，曲線在 a 點凹上；若為負，則凹下；接近零時可能是拐點。
公式
How this is calculated
從列表中選取函數 f(x) 和點 a。計算機使用中心二階差分公式 f''(a) ≈ (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) / h²，步長 h = 1e-4，此公式以 h 的二階精度近似精確的二階導數。
f''(a) 的符號描述凹性：正值表示圖形在 a 附近向上彎曲（凹上，像一個杯子），負值表示向下彎曲（凹下），基本上為零則可能是拐點或局部平坦區域。結果和凹性標籤同步更新。
輸入為無單位的實數。點 a 必須在函數的定義域內——例如 ln(x) 和 √x 要求 a > 0，而 1/x 要求 a ≠ 0。由於方法是數值的，對曲率極大的函數或在奇點附近求值可能有小的捨入誤差；a 附近的曲線圖有助於直觀地看到彎曲。
常見問題
正的二階導數表示函數在該點凹上（向上彎曲），負值表示凹下。接近零的值通常表示拐點。
它使用有限差分公式和微小步長 h，而非符號微分，因此存在小的數值誤差。對於遠離奇點的光滑函數，估算值非常接近精確值。
只能使用函數定義域內的點。對於 ln(x) 和 √x，選擇大於 0 的 a；對於 1/x，避免 a = 0；否則函數無定義，不顯示結果。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 二階導數計算機 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/second-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "二階導數計算機." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/second-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "二階導數計算機," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/second-derivative-calculator
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