中點法則計算器
以每個子區間中點處的函數值作為矩形高度，加總面積以估算定積分的值。
Function f(x)
Midpoint rule estimate
- 1
Subinterval width Δx = (b − a) ÷ n
(2 − 0) ÷ 4 = 0.5 - 2
Sum of 4 midpoint heights Σf(mᵢ)
5.25 - 3
Integral ≈ Δx × Σf(mᵢ)
0.5 × 5.25 = 2.6250The midpoint rule evaluates the function at the centre of each strip, balancing over- and under-estimates.
此計算機如何運作？
中點法則將 [a, b] 分成 n 個寬為 Δx = (b − a)/n 的等分條帶，在每個條帶的中點計算函數值，然後將各高度乘以 Δx 加總，以近似定積分。對線性函數而言此法精確，誤差以 1/n² 的速率衰減，n 越大估算越精確。
公式
How this is calculated
中點法則是一種用於數值積分的黎曼和方法。您選擇函數 f(x)、下限 a、上限 b，以及等分子區間的數量 n。計算器首先計算公共寬度 Δx = (b − a) / n，將 [a, b] 分成 n 個條帶。
對每個條帶 i（從 0 到 n − 1），在中點 mₚ = a + (i + 0.5)·Δx 計算函數值，以 f(mₚ) 作為矩形高度。每個高度乘以 Δx 得到矩形面積，所有矩形面積加總即為近似值 Δx · Σ f(mₚ)。使用中點而非左端點或右端點，通常可消除過高與不足的偏差，因此中點法則對線性函數精確，整體上具有二階精度。
上下限可任意順序輸入，但積分保留 a → b 的符號慣例。誤差隨 n 增大約以 1/n² 的速率縮小；對於具有急劇曲率或奇點（例如穿越零的 1/x）的函數，需要更多子區間或避開奇點的積分區域。角度相關選項（sin、cos）使用弧度。
常見問題
在中點取樣可平衡矩形中曲線上方和下方的部分，因此對相同的 n，中點法則比左端或右端黎曼和更準確，且對直線函數精確。
增加子區間數量 n。中點法則的誤差大約以 1/n² 的比例減小，因此 n 加倍可將誤差減少約四倍。
可以。若 a 大於 b，寬度 Δx 變為負值，近似值帶有正確的符號，符合 ∫ₐᵇ = −∫_bᵃ。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 中點法則計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/midpoint-rule-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "中點法則計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/midpoint-rule-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "中點法則計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/midpoint-rule-calculator
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