黎曼和計算機
透過對區間上矩形面積求和，近似計算函數的定積分。
Function f(x)
Sample point
Approximate area under the curve
- 1
Subinterval width (Δx)
(2 − 0) ÷ 8 = 0.25 - 2
Riemann sum
8 rectangles × f(xᵢ*) × 0.25 = 2.6563Each rectangle has width Δx and height f(xᵢ*) evaluated at the chosen sample point.
此計算機如何運作？
黎曼和透過加總寬度為 Δx = (b − a)/n 的矩形面積，估算 f(x) 在 [a, b] 上的面積。選擇左端點、右端點或中點取樣；其和 Σ f(xi*)·Δx 近似積分值。子區間越多，近似值越精確，中點法通常最為準確。
公式
How this is calculated
黎曼和透過將 f(x) 在 x = a 到 x = b 之間的區間分成 n 個等寬子區間（各寬 Δx = (b − a) / n）來近似曲線下面積。在每個子區間上選取取樣點 xi*，加總高度為 f(xi*)、寬度為 Δx 的矩形：Σ f(xi*)·Δx 即為定積分的估算值。
取樣點類型決定各矩形與曲線的接觸位置。左端點使用 xi* = a + i·Δx，右端點使用 xi* = a + (i+1)·Δx，中點使用 xi* = a + (i + 0.5)·Δx，其中 i 從 0 到 n−1。在相同 n 下，中點和通常最為精確；左端點和右端點和在單調函數上會系統性地高估或低估。
輸入包括函數（從列表中選取）、上下限 a 和 b、子區間數 n（正整數）以及取樣類型。隨著 n 增大，和收斂至真實積分值。注意，若 a > b，Δx 為負，結果符號翻轉；若所選函數在區間部分位置無定義（如 1/x 跨越 0 或 √x 對負 x），則不返回結果。
常見問題
在子區間數固定的情況下，中點法通常最準確，因為各子區間上的高估和低估趨於抵消。左端點和右端點和較不準確，但更易於理解。
隨著子區間數 n 增大，矩形寬度縮小，黎曼和收斂至定積分 ∫ from a to b of f(x) dx 的精確值。
若 n 小於 1、a 等於 b，或所選函數在任何取樣點無定義（例如 1/x 在 x = 0 或 √x 對負 x），計算機不返回結果。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 黎曼和計算機 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/riemann-sum-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "黎曼和計算機." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/riemann-sum-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "黎曼和計算機," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/riemann-sum-calculator
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