牛頓法計算器
牛頓法通過反覆沿切線下降到 x 軸，快速逼近函數的根。
Function f(x)
Converged in 5 iterations
此計算機如何運作？
牛頓法從初始猜測 x₀ 出發，通過迭代 x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n) 求 f(x) 的根。此工具使用數值導數，在步長小於 1e-10 或迭代 50 次後停止，並回報近似根及所用的迭代次數。
公式
How this is calculated
選擇函數 f(x) 和初始猜測 x₀。計算器迭代牛頓-拉夫森更新 x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f′(x_n)，其中導數 f′(x_n) 使用中央差分數值估算：f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h)，取 h = 1e-6。這樣無需符號導數且保持精確。
迭代持續進行，直到步長 |Δ| = |f(x_n)/f′(x_n)| 低於 1e-10（收斂）或已執行 50 步。最終的 x 作為近似根回報，同時顯示迭代次數和殘差 f(root)，對於良好的解，殘差應接近零。
牛頓法在簡單根附近收斂非常快（二次收斂），但如果初始猜測較差、某次迭代的導數為零，或函數有平坦區域或多個根，則可能失敗或發散。選擇靠近預期根的 x₀ 並檢查殘差可防範這些邊界情況。
常見問題
若初始猜測距離根很遠、某次迭代的 f′(x) 為零或很小，或者函數振盪，迭代可能發散或在值之間跳動。請嘗試選擇更靠近預期根的起始點。
使用中央差分進行數值逼近：f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h)，取 h = 1e-6，因此無需手動求導。
殘差是 f(root)：函數在計算所得根處的值。殘差非常接近零表示估算準確。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 牛頓法計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/newtons-method-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "牛頓法計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/newtons-method-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "牛頓法計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/newtons-method-calculator
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