旋轉體表面積計算器
計算函數 f(x) 的圖形在區間 [a, b] 上繞 x 軸旋轉一整圈所掃過的表面積。
Function f(x)
Revolving x² about the x-axis from 0 至 1
此計算機如何運作？
繞 x 軸旋轉的表面積公式為 S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx。本工具使用中央差分法對 f 進行數值微分，並以 1000 個分割的複合辛普森法則進行積分，返回您所選函數與積分限 a 和 b 對應的旋轉表面積。
公式
How this is calculated
選擇函數 f(x) 及積分限 a 和 b。將曲線 y = f(x) 繞 x 軸旋轉時，每個點會畫出一個半徑為 |f(x)| 的圓，而微小弧長 ds = √(1 + f′(x)²) dx 則掃過一個側面積為 2π·|f(x)|·ds 的薄圓台。積分後即得總表面積 S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx。
導數 f′(x) 採用對稱中央差分法進行數值估算：f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h)，其中 h = 1e-6，精確度達二階。定積分則以 n = 1000 個子區間的複合辛普森法則求值，誤差為 O(h⁴)，對光滑被積函數的精度極高。若輸入 a > b，則會自動交換積分上下限，確保面積為正值。
絕對值 |f(x)| 確保即使 f 在軸線以下時半徑也保持非負。計算結果假設 f 在 [a, b] 上連續且可微；尖角或垂直切線（例如 √x 在 x = 0 處）可能略微降低精度。結果的單位為 x 和 f 所用單位的平方。
常見問題
若 f(x) 在區間內等於 0（例如 sin(x) 在對稱區域上旋轉），則半徑為零，不會生成任何表面。請選擇 |f(x)| 為正值的積分限。
本計算器計算曲線繞 x 軸旋轉的表面積。若要繞 y 軸旋轉，則應改為積分 2π·|x|·√(1 + f′(x)²) dx。
1000 個分割的複合辛普森法則加上高階中央差分導數，對光滑函數能給出多位正確有效數字；僅在奇異點或垂直切線附近才會出現較小誤差。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 旋轉體表面積計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "旋轉體表面積計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/surface-area-of-revolution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "旋轉體表面積計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/surface-area-of-revolution-calculator
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