泰勒多項式計算器
建立函數在中心點 c 附近的 n 階泰勒多項式，在點 x 處求值，並量測其與精確值的接近程度。
Function f(x)
Approximation of f(x) from the truncated Taylor series
此計算機如何運作？
泰勒多項式使用 Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(c)(x − c)ᵏ⁄k! 在中心點 c 附近近似一個函數。選擇函數、中心點、求值點及階數，工具將返回近似值、精確值及絕對誤差，並以圖表比較兩條曲線，讓您直觀看到擬合效果如何隨遠離 c 而下降。
公式
How this is calculated
泰勒多項式利用函數在選定中心點 c 處的各階導數，在 c 附近近似一個光滑函數。每一項加入 f⁽ᵏ⁾(c)·(x − c)ᵏ⁄k!：常數項再現 f(c)，線性項匹配斜率，二次項匹配曲率，以此類推直至 n 階。當 c = 0 時，即為麥克勞林級數。
您選擇函數、中心點 c、求值點 x 和階數 n。各階導數 f⁽ᵏ⁾(c) 以 k 階中央有限差分法進行數值計算，再除以 k! 並乘以 (x − c) 的相應次方後相加。計算器報告近似值 Pₙ(x)、精確值 f(x) 及絕對誤差 |f(x) − Pₙ(x)|。
隨著 n 增大或 x 越靠近 c，精度會提高，因為餘項的量級約為 (x − c)ⁿ⁺¹。對於 ln(1 + x)，定義域要求 x > −1；而 1/(1 − x) 在 x = 1 處有奇異點，其泰勒級數僅在收斂半徑 |x − c| 以內收斂。由於導數由有限差分法估算，極高階時可能累積少量捨入誤差。
常見問題
麥克勞林級數就是以 c = 0 為中心的泰勒級數。在此將中心點設為 0 即可得到麥克勞林級數。
泰勒餘項的量級約為 (x − c)ⁿ⁺¹，因此距中心越遠的點需要更高的階數 n 才能保持精確，而某些函數只在有限半徑內收斂。
每個 f⁽ᵏ⁾(c) 都用 k 階中央有限差分法近似，再結合階乘和次方項組成多項式。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 泰勒多項式計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/taylor-polynomial-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "泰勒多項式計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/taylor-polynomial-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "泰勒多項式計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/taylor-polynomial-calculator
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