二项分布概率计算器
计算在 n 次独立伯努利试验中恰好、至多或至少获得 k 次成功的概率，以及分布均值和方差。
众数
Probability of the selected outcome
- 1
Binomial coefficient C(n, k)
C(10, 3) = 120Number of ways to arrange k successes among n trials. - 2
pᵏ
0.5 ^ 3 = 0.125 - 3
(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
0.5 ^ 7 = 0.007813 - 4
P(X = k)
120 × 0.125 × 0.007813 = 0.1172
这个计算器是如何工作的？
二项概率公式为 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ，表示在 n 次独立试验中以成功概率 p 恰好获得 k 次成功的概率。使用累积和可得至多或至少 k 次的概率。该分布均值为 np，方差为 np(1 − p)，标准差为 √(np(1 − p))。
公式
How this is calculated
二项分布描述 n 次独立试验中成功次数 X 的分布，每次试验以概率 p 成功。输入 n（试验次数）、k（感兴趣的成功次数）和 p（每次试验成功概率，介于 0 和 1 之间）。点概率为 P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ，其中 C(n, k) 是二项系数「n 中取 k」。
模式选择器决定报告内容。「恰好」返回单点概率 P(X = k)。「至多」返回累积概率 P(X ≤ k) = Σ P(X = i)，i = 0..k。「至少」返回 P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)。二项系数通过迭代乘积循环构建（将 n − i 相乘并除以 i + 1），因此大阶乘不会溢出。
分布摘要使用均值 μ = np，方差 σ² = np(1 − p)，标准差 σ = √(σ²)。输入须满足 n ≥ 0 且为整数，0 ≤ k ≤ n 且为整数，以及 0 ≤ p ≤ 1；否则结果未定义。条形图显示 k 附近窗口内 X 各取值的概率质量，可直观看出 k 在分布中的位置。
常见问题
「恰好 k 次」是精确获得 k 次成功的概率。「至多 k 次」累加 0 到 k 次成功的概率。「至少 k 次」累加 k 到 n 次成功的概率，计算方式为 1 − P(X ≤ k − 1)。
必须有固定次数 n 的试验，每次试验相互独立，恰好有两种结果（成功/失败），且所有试验的成功概率 p 保持不变。
均值 np 给出期望的成功次数，而方差 np(1 − p) 和标准差则衡量计数通常在该平均值周围的波动程度。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 二项分布概率计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/binomial-probability-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "二项分布概率计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/binomial-probability-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "二项分布概率计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/binomial-probability-calculator
@misc{wecalculate_binomial_probability_calculator, title = {二项分布概率计算器}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/zh/calculator/binomial-probability-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
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