三次方程求解器
求解任意三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0 的所有实数根和复数根，并显示曲线图像。
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Shift: t = x + b/(3a)
6 ÷ (3 × 1) = 2Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0. - 2
p = (3ac − b²) ÷ (3a²)
(3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = -1 - 3
q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)
0 ÷ 27 = 0 - 4
Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³
(0 ÷ 2)² + (-1 ÷ 3)³ = -0.0370Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
这个计算器是如何工作的？
三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0 恒有三个根。本求解器将其化为压缩三次方程，检查判别式 Δ = (q/2)² + (p/3)³，然后应用 Cardano 公式（一个实数根）或三角公式（三个实数根），列出各根并绘制曲线图像。
公式
How this is calculated
输入四个系数 a、b、c 和 d。首项系数 a 必须非零，否则方程不是三次方程，计算器不返回结果。方程首先概念上除以 a，然后通过替换 x = t − b/(3a) 化为压缩三次方程 t³ + pt + q = 0，其中 p = (3ac − b²)/(3a²)，q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³)。
根的性质由判别式 Δ = (q/2)² + (p/3)³（与 −(4p³ + 27q²) 成比例）决定。当 Δ > 0 时，恰好有一个实数根，用 Cardano 公式 t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ) 计算，另有一对共轭复数根。当 Δ ≤ 0 时，三个根均为实数，用稳定的三角公式 t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3)（k = 0, 1, 2）求解。
每个 t 再加 −b/(3a) 还原为 x。复数根以实部加减虚部的形式显示（…i）。图像在覆盖实数根的窗口内绘制 y = ax³ + bx² + cx + d，其中每个与 x 轴的交点标志着一个实数解。结果精确至浮点舍入；系数比值过大时可能引入微小数值误差。
常见问题
若 a = 0，x³ 项消失，方程变为二次方程（或更低次），而非三次方程，因此三次方法不适用。请改用二次方程求解器。
每个实系数三次方程在计重数的情况下恰好有三个根：要么三个实数根，要么一个实数根和一对共轭复数根。
Δ > 0 表示一个实数根和两个复数根；Δ = 0 表示有重实数根；Δ < 0 表示三个不同的实数根。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 三次方程求解器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/cubic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "三次方程求解器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/cubic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "三次方程求解器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/cubic-equation-solver
@misc{wecalculate_cubic_equation_solver, title = {三次方程求解器}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/zh/calculator/cubic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
这个计算器对您有帮助吗？