方向导数计算器
求函数 f(x, y) 在某点沿指定方向移动时的变化速率。
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0.6, 0.8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0.6 + 4 × 0.8 = 4.4000
这个计算器是如何工作的？
方向导数 D_u f 度量 f(x, y) 在某点沿选定方向移动时的变化速率。它等于梯度 ∇f = (fx, fy) 与单位方向向量 û 的点积。本工具通过中心差分估计梯度，对方向向量归一化，并给出 D_u f 及偏导数结果。
公式
How this is calculated
选择函数 f(x, y) 和点 (x, y)，然后给出方向向量 (u1, u2)。计算器首先使用步长 h = 1e-5 的对称（中心）差商估计梯度 ∇f = (fx, fy)：fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h)，fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h)。使用中心差分是因为其误差为 O(h²)，比单侧差分精度高得多。
随后将方向归一化为单位向量 û = (u1, u2) / √(u1² + u2²)，因为方向导数是针对单位长度方向定义的。结果为点积 D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2，表示 f 在该点沿该方向的瞬时变化率。
单位跟随 f：D_u f 的单位为 f 值每单位位移。若方向向量为零向量，则其长度为零，结果无定义，该情况不返回任何答案。某点处最大可能方向导数等于梯度模 |∇f|，出现在梯度方向上；垂直于梯度方向移动时方向导数为零。
常见问题
方向导数是沿单位方向定义的。将 (u1, u2) 除以其长度可消除向量模长的影响，使结果仅反映方向，而与向量的长度无关。
步长 h = 1e-5 的中心差分误差与 h² 成正比，因此对光滑函数，梯度通常精确到多位有效数字，与精确的解析偏导数非常吻合。
梯度 ∇f 本身的方向，此时 D_u f 等于梯度模 |∇f|。反方向给出最小负值，垂直于 ∇f 的方向给出零。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 方向导数计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "方向导数计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "方向导数计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/directional-derivative-calculator
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这个计算器对您有帮助吗？