数值导数计算器
使用简单且精确的数值公式估算函数在任意点处的瞬时斜率。
Function f(x)
Estimated slope of the tangent line at a
- 1
f(a)
f(2) = 4 - 2
f(a + h)
f(2 + 0.00001) = 4.00004 - 3
f(a − h)
f(2 − 0.00001) = 3.99996 - 4
Numerator f(a+h) − f(a−h)
4.00004 − 3.99996 = 0.00008 - 5
Derivative f'(a) = numerator ÷ (2h)
0.00008 ÷ (2 × 0.00001) = 4Central difference: averaging forward and backward slopes cancels the leading error term.
这个计算器是如何工作的？
本工具使用中心差分公式 f'(a) ≈ (f(a+h) − f(a−h)) / (2h) 估算函数在点 a 处的导数。选择函数、点和微小步长 h（默认 1e-5），返回切线斜率，精度为 h² 阶，无需符号微积分。
公式
How this is calculated
从列表中选择函数 f，输入要求斜率的点 a 和小步长 h。计算器在 a+h 和 a−h 处求函数值，然后应用中心差分公式 f'(a) ≈ (f(a+h) − f(a−h)) / (2h)。这平均了前向和后向斜率，消去了一阶误差项，使估计精度达到 h² 阶，远优于单侧差分。
中心差分无需符号代数：它只对函数采样。取 h ≈ 1e-5 可在截断误差（h 过大）和浮点舍入误差（h 过小）之间取得平衡。对于光滑函数，这通常能给出 6 位或更多的正确位数。结果是在 x = a 处 y = f(x) 切线的估计斜率。
假设条件：f 必须在 a、a+h 和 a−h 处有定义且有限。对于 ln x 和 sqrt x，点 a 必须为正数；对于 1/x，a 必须非零。在奇点、折点或极陡区域附近，由于函数在采样区间内不再光滑，估计值会变差。
常见问题
中心差分 (f(a+h) − f(a−h)) / (2h) 精度为 h² 阶，而前向差分 (f(a+h) − f(a)) / h 仅为 h 阶。在相同步长下，中心差分公式能给出更多正确位数。
对于大多数光滑函数，约 1e-5 效果很好。步长太大会增大近似误差；步长太小则浮点舍入误差占主导。若结果看起来有噪声，可尝试适当增大 h。
这些函数在其定义域之外无定义。ln x 和 sqrt x 要求 a > 0，1/x 要求 a ≠ 0。采样点 a±h 也必须在定义域内。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 数值导数计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/numerical-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "数值导数计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/numerical-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "数值导数计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/numerical-derivative-calculator
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