梯度向量计算器
计算二元函数在选定点处的梯度 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) 及其模长。
Function f(x, y)
Length of the gradient vector at the point
- 1
∂f/∂x at (x, y)
2Estimated by central difference: [f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ 2h with h = 10⁻⁵. - 2
∂f/∂y at (x, y)
4 - 3
Magnitude |∇f|
√(2² + 4²) = 4.4721
这个计算器是如何工作的？
梯度 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) 汇集了函数的偏导数，指向最陡上升方向。本工具在选定点通过中心差分数值估计两个偏导数，并给出各分量及模长 |∇f| = √(fx² + fy²)，即该点最快变化速率。
公式
How this is calculated
标量函数 f(x, y) 的梯度是其一阶偏导数组成的向量，∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)。它指向 f 最陡上升的方向，其模长 |∇f| 给出该方向上的上升速率。从列表中选择函数，输入要求梯度的点 (x, y)。
每个偏导数用对称（中心）差分公式数值估计：∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h)，步长 h = 1e-5，∂f/∂y 同理。中心差分具有二阶精度，因此对光滑函数，结果与精确解析导数可吻合至数位小数。模长即两个分量的欧几里得范数。
x 和 y 是函数所用单位下的实数；梯度分量的单位为 f 值每单位 x（或 y）。应避免函数无定义或奇异的点——例如 f = ln(x² + y²) 在原点处发散，那里很小的分母会使数值导数不可靠。在局部极值或鞍点处，梯度为零向量，模长为零。
常见问题
它是函数在该点的最大变化速率。梯度向量指向 f 增长最快的方向，|∇f| 是 f 沿该方向每单位距离的上升速率。
中心差分使工具无需符号微分即可对任意所选函数求梯度。步长 h = 1e-5 时，对光滑函数的相对误差约为 1e-10。
在临界点——局部极大值、极小值和鞍点——两个偏导数均为零，因此 ∇f = (0, 0)，模长为 0。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 梯度向量计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/gradient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "梯度向量计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/gradient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "梯度向量计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/gradient-calculator
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这个计算器对您有帮助吗？