二阶导数计算器
本计算器数值估计所选函数在某点处的二阶导数 f″(a)，并报告该处曲线是向上凹还是向下凹。
Function f(x)
Concave up
- 1
f(a)
f(x) = x² at x = 1 = 1 - 2
f(a + h)
h = 0.0001, f(1 + 0.0001) = 1.0002Small step h = 1×10⁻⁴ used for numerical differentiation. - 3
f(a − h)
f(1 − 0.0001) = 0.9998 - 4
f''(a) = (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) ÷ h²
(1.0002 − 2 × 1 + 0.9998) ÷ 0 = 2
这个计算器是如何工作的？
二阶导数 f''(a) 衡量函数斜率在某点的变化情况。本工具将其数值估计为 (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) / h²。若 f''(a) 为正，曲线在 a 处向上凹；若为负，向下凹；接近零则表明存在拐点。
公式
How this is calculated
从列表中选择函数 f(x) 和点 a。计算器使用中心二阶差分公式 f''(a) ≈ (f(a+h) − 2f(a) + f(a−h)) / h²，步长 h = 1e-4，可将精确的二阶导数精确到 h 的二阶近似。
f''(a) 的符号描述凹凸性：正值表示图形在 a 附近向上弯曲（向上凹，如杯状），负值表示向下弯曲（向下凹），而接近零的值表明存在拐点或局部平直区域。结果和凹凸性标注同步更新。
输入为无量纲实数。点 a 必须在函数的定义域内——例如 ln(x) 和 √x 需要 a > 0，而 1/x 需要 a ≠ 0。由于方法是数值计算的，对于曲率非常大或在奇点附近求值的函数，结果可能存在微小的舍入误差；a 附近的绘图曲线帮助您直观地看到弯曲程度。
常见问题
正的二阶导数意味着函数在该点向上凹（向上弯曲），负值意味着向下凹。接近零的值通常表示拐点。
它使用有限差分公式和小步长 h，而非符号微分，因此存在微小数值误差。对于远离奇点的光滑函数，估计值非常接近精确值。
只能使用函数定义域内的点。对于 ln(x) 和 √x，选择大于 0 的 a；对于 1/x，避免 a = 0；否则函数无定义，不显示结果。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 二阶导数计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/second-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "二阶导数计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/second-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "二阶导数计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/second-derivative-calculator
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这个计算器对您有帮助吗？