标量三重积计算器
计算三个三维向量的 a·(b×c) 及其所张成的平行六面体的体积。
Equals the signed determinant det[a; b; c].
- 1
Cross product b×c: i
b₂·c₃ − b₃·c₂ = 2·3 − 0·0 = 6 - 2
Cross product b×c: j
b₃·c₁ − b₁·c₃ = 0·0 − 0·3 = 0 - 3
Cross product b×c: k
b₁·c₂ − b₂·c₁ = 0·0 − 2·0 = 0 - 4
Scalar triple product a·(b×c)
1·6 + 0·0 + 0·0 = 6Absolute value gives parallelepiped volume; sign shows orientation.
这个计算器是如何工作的？
标量三重积 a·(b×c) 将向量 a 与 b 和 c 的叉积相乘，得到一个等于行列式 det[a; b; c] 的单一数值。其绝对值为三个向量张成的平行六面体的体积，符号反映其手性；零值表示三向量共面。
公式
How this is calculated
输入三个三维向量 a、b 和 c，每个向量由三个分量组成，以逗号或空格分隔。计算器首先计算叉积 b×c = (b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁)，这是一个垂直于 b 和 c 的向量，其模等于两者所张成的平行四边形的面积。
标量三重积即点积 a·(b×c) = a₁(b×c)₁ + a₂(b×c)₂ + a₃(b×c)₃。这个单一数值等于以 a、b、c 为行（或列）构成的 3×3 矩阵的行列式，因此在循环置换下具有对称性：a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)。
从几何角度看，|a·(b×c)| 是以 a、b、c 为棱的平行六面体的体积。符号表示方向：正值为右手系，负值为左手系。结果为零意味着三向量线性相关（共面），平行六面体退化为零体积。所有输入必须恰好包含三个数值分量；输出单位为输入单位的三次方。
常见问题
说明三个向量共面（线性相关），其构成的平行六面体退化，体积为零。
标量三重积是带符号的。正值表示 a、b、c 为右手方向；负值表示左手方向。体积为其绝对值。
是的。标量三重积等于以三个向量为行（或列）构成的矩阵的行列式。
也称为
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 标量三重积计算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh/calculator/scalar-triple-product-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "标量三重积计算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh/calculator/scalar-triple-product-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "标量三重积计算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh/calculator/scalar-triple-product-calculator
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这个计算器对您有帮助吗？