TG we-Calculate logoTG we-Calculate
Alle lommeregnere
Advanced

Løser for tredjegradsligninger

Find alle reelle og komplekse rødder af enhver tredjegradsligning ax³ + bx² + cx + d = 0 og se kurven optegnet.
Must be non-zero
Three real roots
x = 3, x = 2, x = 1
Root 1
3
Root 2
2
Root 3
1
Discriminant Δ
-0,037
Step by step
  1. 1

    Shift: t = x + b/(3a)

    6 ÷ (3 × 1) = 2
    Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0.
  2. 2

    p = (3ac − b²) ÷ (3a²)

    (3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = -1
  3. 3

    q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)

    0 ÷ 27 = 0
  4. 4

    Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³

    (0 ÷ 2)² + (-1 ÷ 3)³ = -0,0370
    Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
Resultaterne er skøn, der kun gives til generel information og er ikke professionel rådgivning — verificér altid vigtige resultater uafhængigt, før du forlader dig på dem. Læs hele ansvarsfraskrivelsen.
Hurtigt svar

Hvordan fungerer denne lommeregner?

En tredjegradsligning ax³ + bx² + cx + d = 0 har altid tre rødder. Denne løser reducerer den til en reduceret tredjegradsligning, tjekker diskriminanten Δ = (q/2)² + (p/3)³ og anvender derefter Cardanos formel for én reel rod eller en trigonometrisk formel for tre reelle rødder, lister hver rod og optegner kurven.

Formel
ax³ + bx² + cx + d = 0 → reduceret tredjegradsligning t³ + pt + q = 0, Δ = (q/2)² + (p/3)³
How this is calculated

Indtast de fire koefficienter a, b, c og d. Den ledende koefficient a skal være forskellig fra nul, ellers er ligningen ikke kubisk, og beregneren returnerer intet resultat. Ligningen divideres først begrebsmæssigt med a og reduceres til en reduceret tredjegradsligning t³ + pt + q = 0 ved hjælp af substitutionen x = t − b/(3a), hvor p = (3ac − b²)/(3a²) og q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).

Røddernes karakter afgøres af diskriminanten Δ = (q/2)² + (p/3)³, som er proportional med −(4p³ + 27q²). Når Δ > 0 er der præcis én reel rod, udregnet med Cardanos formel t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ), plus et konjugeret par af komplekse rødder. Når Δ ≤ 0 er alle tre rødder reelle og findes med den stabile trigonometriske formel t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3) for k = 0, 1, 2.

Hvert t forskydes tilbage med −b/(3a) for at genfinde x. Komplekse rødder vises som en reel del plus eller minus en imaginær del (…i). Grafen optegner y = ax³ + bx² + cx + d over et vindue, der spænder over de reelle rødder, hvor hver skæring med x-aksen markerer en reel løsning. Resultaterne er eksakte op til afrunding ved flydende komma; meget store forhold mellem koefficienterne kan introducere små numeriske fejl.

Ofte stillede spørgsmål

Hvis a = 0 forsvinder x³-leddet, og ligningen er andengrads (eller lavere), ikke tredjegrads, så den kubiske metode gælder ikke. Brug en andengradsløser i stedet.

Enhver tredjegradsligning med reelle koefficienter har præcis tre rødder talt med multiplicitet: enten tre reelle rødder eller én reel rod og et par komplekst konjugerede rødder.

Δ > 0 betyder én reel og to komplekse rødder; Δ = 0 betyder en gentaget reel rod; Δ < 0 betyder tre forskellige reelle rødder.

Også kendt som

tredjegradsligning
kubisk ligning
ax^3+bx^2+cx+d
tredjegrads rødder
cardanos formel
løs tredjegradsligning
kubiske rødder

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Løser for tredjegradsligninger [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/da/calculator/cubic-equation-solver

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Løser for tredjegradsligninger." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/da/calculator/cubic-equation-solver.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Løser for tredjegradsligninger," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/da/calculator/cubic-equation-solver

BibTeX

@misc{wecalculate_cubic_equation_solver, title = {Løser for tredjegradsligninger}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/da/calculator/cubic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }

Hjalp denne lommeregner dig?

Relaterede lommeregnere

Løser af andengradsligninger

Løs ax² + bx + c = 0 med andengradsformlen — reelle og komplekse rødder, plus diskriminanten.

Beginner

Beregner for faktorisering af andengradsudtryk

Faktorisér ax^2+bx+c til a(x-r1)(x-r2) ved hjælp af dets rødder, med reelt eller komplekst output.

Intermediate

Egenværdiberegner for 2x2

Find egenværdierne for en 2x2-matrix ud fra dens karakteristiske ligning. Indtast de fire indgange for at få reelle eller komplekse rødder.

Advanced

Løser for numerisk værdi-ligninger

Løs |ax+b|=c for x og tegn y=|ax+b| mod y=c for at se skæringspunkterne.

Beginner

Parabel-fra-punkter-beregner

Find andengradsligningen y = ax² + bx + c for parablen gennem tre punkter, plus dens toppunkt, symmetriakse og diskriminant, med en graf.

Beginner

Beregner for diskriminant

Find diskriminanten b^2-4ac for et andengradsudtryk og se straks, hvor mange reelle rødder det har.

Beginner