Bogenlängen-Rechner
Bestimme die exakte Länge einer Kurve y = f(x) über einem Intervall [a, b] mittels numerischer Integration.
Function f(x)
Length of y = x^2 from x = 0 to x = 2
Wie funktioniert dieser Rechner?
Die Bogenlänge misst die tatsächliche Entfernung entlang einer Kurve y = f(x) von x = a bis x = b und wird als Integral von √(1 + f'(x)²) berechnet. Dieses Werkzeug leitet numerisch mit zentralen Differenzen ab und integriert mit der Simpson-Regel (n = 1000), um eine genaue Länge sowie eine Darstellung der Kurve zu liefern.
Formel
How this is calculated
Die Bogenlänge einer glatten Kurve y = f(x) von x = a bis x = b entspricht dem Integral von √(1 + f'(x)²). Wähle die Funktion aus der Liste und gib die untere Grenze a sowie die obere Grenze b ein; das Intervall darf in beliebiger Reihenfolge eingegeben werden, und der Rechner integriert über [min(a,b), max(a,b)].
Die Ableitung f'(x) wird durch einen zentralen Differenzenquotienten angenähert, f'(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) mit h = 1e-6, was für die angebotenen glatten Funktionen genau ist. Das Integral wird dann mit der zusammengesetzten Simpson-Regel mit n = 1000 Teilintervallen ausgewertet, was eine sehr genaue numerische Schätzung der tatsächlichen Bogenlänge liefert.
Die Ergebnisse haben dieselben Längeneinheiten wie die x- und y-Achse (sie müssen dieselbe Einheit verwenden). Wähle Grenzen innerhalb des Definitionsbereichs jeder Funktion: zum Beispiel erfordern sqrt(x) und ln(x), dass x > 0 ist, und 1/x darf x = 0 nicht überspannen. Der Sehnenwert zeigt die geradlinige Entfernung zwischen den Endpunkten, die stets kleiner oder gleich der Bogenlänge ist.
Häufige Fragen
Die Sehne ist der kürzeste Weg zwischen den beiden Endpunkten (eine Gerade), während der Bogen jeder Krümmung der Kurve folgt. Sofern die Kurve nicht selbst eine Gerade ist, ist die Bogenlänge stets größer als die Sehne.
Es verwendet die zusammengesetzte Simpson-Regel mit 1000 Teilintervallen und eine Ableitung per zentraler Differenz, sodass der Fehler für die angebotenen glatten Funktionen typischerweise weit unter den angezeigten vier Nachkommastellen liegt.
Die Bogenlänge trägt dieselbe Einheit wie die x- und y-Achse, die identisch sein müssen. Sind x und y beide in Metern, so ist die Länge in Metern.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Bogenlängen-Rechner [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/arc-length-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Bogenlängen-Rechner." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/arc-length-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Bogenlängen-Rechner," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/arc-length-calculator
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