Satz-von-Bayes-Rechner

Formel

How this is calculated

Der Satz von Bayes aktualisiert eine A-priori-Annahme P(A) zu einer A-posteriori-Wahrscheinlichkeit P(A|B), nachdem die Evidenz B beobachtet wurde. Die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A) ist die Basisrate des Ereignisses vor jedem Test (zum Beispiel die Prävalenz einer Krankheit). Die Sensitivität P(B|A) ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses B, wenn A wahr ist (die Richtig-Positiv-Rate). Die Falsch-Positiv-Rate P(B|¬A) ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses, wenn A falsch ist. Alle drei Werte müssen im Intervall [0, 1] liegen.

Der Zähler P(B|A)·P(A) ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit eines richtig positiven Ergebnisses. Der Nenner addiert den Falsch-Positiv-Beitrag P(B|¬A)·(1 − P(A)) hinzu, um die Randwahrscheinlichkeit P(B) zu bilden — die Gesamtwahrscheinlichkeit, ein positives Ergebnis aus einer der beiden Quellen zu beobachten. Die Division des Richtig-Positiv-Gewichts durch diese Randwahrscheinlichkeit ergibt die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit P(A|B).

Eine zentrale Erkenntnis ist, dass bei sehr kleiner A-priori-Wahrscheinlichkeit selbst ein hochsensitiver Test eine überraschend niedrige A-posteriori-Wahrscheinlichkeit liefern kann, weil falsch positive Ergebnisse den Nenner dominieren. Der Rechner gibt null zurück, wenn Eingaben außerhalb von [0, 1] liegen oder wenn die Randwahrscheinlichkeit P(B) null ist, da die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit dann undefiniert wäre.