Rechner für Richtungsableitungen
Bestimme, wie schnell sich eine Funktion f(x, y) an einem Punkt ändert, wenn du dich entlang einer angegebenen Richtung bewegst.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Wie funktioniert dieser Rechner?
Die Richtungsableitung D_u f misst, wie schnell sich f(x, y) an einem Punkt ändert, wenn man sich entlang einer gewählten Richtung bewegt. Sie entspricht dem Skalarprodukt des Gradienten ∇f = (fx, fy) mit der Einheitsrichtung û. Dieses Werkzeug schätzt den Gradienten mit zentralen Differenzen, normalisiert deinen Vektor und gibt D_u f samt den partiellen Ableitungen an.
Formel
How this is calculated
Wähle eine Funktion f(x, y) und einen Punkt (x, y) und gib dann einen Richtungsvektor (u1, u2) an. Der Rechner schätzt zuerst den Gradienten ∇f = (fx, fy) mithilfe des symmetrischen (zentralen) Differenzenquotienten mit einer kleinen Schrittweite h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) und fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Zentrale Differenzen werden verwendet, weil ihr Fehler O(h²) ist, was sie weit genauer als einseitige Differenzen macht.
Die Richtung wird dann zu einem Einheitsvektor û = (u1, u2) / √(u1² + u2²) normalisiert, da die Richtungsableitung für eine Richtung der Länge eins definiert ist. Das Ergebnis ist das Skalarprodukt D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, das die momentane Änderungsrate von f am Punkt in dieser Richtung angibt.
Die Einheiten folgen f: D_u f hat die Einheiten von f pro zurückgelegter Längeneinheit. Ist der Richtungsvektor der Nullvektor, ist seine Länge null und das Ergebnis undefiniert, sodass dieser Fall keine Antwort liefert. Die maximal mögliche Richtungsableitung an einem Punkt entspricht dem Gradientenbetrag |∇f| und tritt in Richtung des Gradienten selbst auf; die Bewegung senkrecht zum Gradienten ergibt null.
Häufige Fragen
Die Richtungsableitung ist entlang einer Einheitsrichtung definiert. Das Normalisieren von (u1, u2) durch seine Länge beseitigt den Einfluss des Vektorbetrags, sodass das Ergebnis nur die Richtung widerspiegelt, nicht die Länge des Vektors.
Zentrale Differenzen mit h = 1e-5 haben einen zu h² proportionalen Fehler, sodass der Gradient für glatte Funktionen typischerweise auf viele signifikante Stellen genau ist und der exakten analytischen partiellen Ableitung sehr nahekommt.
Die Richtung des Gradienten ∇f selbst, in der D_u f dem Gradientenbetrag |∇f| entspricht. Die entgegengesetzte Richtung ergibt den negativsten Wert, und Richtungen senkrecht zu ∇f ergeben null.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rechner für Richtungsableitungen [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Rechner für Richtungsableitungen." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rechner für Richtungsableitungen," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/directional-derivative-calculator
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