Rechner für numerische Ableitungen
Schätze die momentane Steigung einer Funktion an jedem Punkt mit einer einfachen, genauen numerischen Formel.
Function f(x)
Estimated slope of the tangent line at a
- 1
f(a)
f(2) = 4 - 2
f(a + h)
f(2 + 0,00001) = 4,00004 - 3
f(a − h)
f(2 − 0,00001) = 3,99996 - 4
Numerator f(a+h) − f(a−h)
4,00004 − 3,99996 = 0,00008 - 5
Derivative f'(a) = numerator ÷ (2h)
0,00008 ÷ (2 × 0,00001) = 4Central difference: averaging forward and backward slopes cancels the leading error term.
Wie funktioniert dieser Rechner?
Dieses Werkzeug schätzt die Ableitung einer Funktion an einem Punkt a mit der Formel der zentralen Differenz f'(a) ≈ (f(a+h) − f(a−h)) / (2h). Wähle eine Funktion, den Punkt und eine winzige Schrittweite h (Standard 1e-5). Es liefert die Steigung der Tangente, genau bis zur Ordnung h², ohne symbolische Analysis.
Formel
How this is calculated
Wähle eine Funktion f aus der Liste, den Punkt a, an dem du die Steigung möchtest, und eine kleine Schrittweite h. Der Rechner wertet f an a+h und a−h aus und wendet dann die Formel der zentralen Differenz f'(a) ≈ (f(a+h) − f(a−h)) / (2h) an. Dies mittelt die Vorwärts- und Rückwärtssteigung und hebt den Fehlerterm erster Ordnung auf, sodass die Schätzung bis zur Ordnung h² genau ist, viel besser als eine einseitige Differenz.
Die zentrale Differenz benötigt keine symbolische Algebra: sie tastet nur die Funktion ab. Eine Schrittweite um h = 1e-5 balanciert den Abbruchfehler (zu großes h) gegen die Gleitkommarundung (zu kleines h). Für glatte Funktionen liefert dies typischerweise 6 oder mehr korrekte Stellen. Das Ergebnis ist die geschätzte Steigung der Tangente an y = f(x) bei x = a.
Annahmen: f muss an a, a+h und a−h definiert und endlich sein. Für ln x und sqrt x muss der Punkt a positiv sein; für 1/x muss der Punkt a ungleich null sein. Nahe Singularitäten, Knicken oder sehr steilen Bereichen verschlechtert sich die Schätzung, da die Funktion über dem Abtastintervall nicht mehr glatt ist.
Häufige Fragen
Die zentrale Differenz (f(a+h) − f(a−h)) / (2h) ist bis zur Ordnung h² genau, während die Vorwärtsdifferenz (f(a+h) − f(a)) / h nur von der Ordnung h ist. Bei gleicher Schrittweite liefert die zentrale Formel viele weitere korrekte Stellen.
Etwa 1e-5 funktioniert für die meisten glatten Funktionen gut. Zu groß und der Näherungsfehler wächst; zu klein und die Gleitkommarundung dominiert. Wirken die Ergebnisse verrauscht, erhöhe h leicht.
Diese Funktionen sind außerhalb ihres Definitionsbereichs undefiniert. ln x und sqrt x erfordern a > 0, und 1/x erfordert a ≠ 0. Die Abtastpunkte a±h müssen ebenfalls im Definitionsbereich bleiben.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rechner für numerische Ableitungen [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/numerical-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Rechner für numerische Ableitungen." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/numerical-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rechner für numerische Ableitungen," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/numerical-derivative-calculator
@misc{wecalculate_numerical_derivative_calculator, title = {Rechner für numerische Ableitungen}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/de/calculator/numerical-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Hat Ihnen dieser Rechner geholfen?