Gradientenvektor-Rechner
Berechne den Gradienten ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) einer Funktion zweier Variablen an einem gewählten Punkt samt seinem Betrag.
Function f(x, y)
Length of the gradient vector at the point
- 1
∂f/∂x at (x, y)
2Estimated by central difference: [f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ 2h with h = 10⁻⁵. - 2
∂f/∂y at (x, y)
4 - 3
Magnitude |∇f|
√(2² + 4²) = 4,4721
Wie funktioniert dieser Rechner?
Der Gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) fasst die partiellen Ableitungen einer Funktion zusammen und zeigt in Richtung ihres steilsten Anstiegs. Dieses Werkzeug wertet beide partiellen Ableitungen numerisch mit zentralen Differenzen am gewählten Punkt aus und gibt die Komponenten sowie den Betrag |∇f| = √(fx² + fy²) an, die Rate der schnellsten Änderung dort.
Formel
How this is calculated
Der Gradient einer skalaren Funktion f(x, y) ist der Vektor ihrer ersten partiellen Ableitungen, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Er zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs von f, und sein Betrag |∇f| gibt die Rate dieses Anstiegs an. Wähle eine Funktion aus der Liste und gib den Punkt (x, y) ein, an dem du den Gradienten auswerten möchtest.
Jede partielle Ableitung wird numerisch mit der symmetrischen (zentralen) Differenzformel geschätzt, ∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) mit einer kleinen Schrittweite h = 1e-5, und entsprechend für ∂f/∂y. Zentrale Differenzen haben Genauigkeit zweiter Ordnung, sodass das Ergebnis für glatte Funktionen auf mehrere Nachkommastellen mit der exakten analytischen Ableitung übereinstimmt. Der Betrag ist dann die euklidische Norm der beiden Komponenten.
Die Eingaben x und y sind einfache reelle Zahlen in den Einheiten, die die Funktion verwendet; die Gradientenkomponenten tragen Einheiten von f pro Einheit von x (oder y). Vermeide Punkte, an denen die Funktion undefiniert oder singulär ist — zum Beispiel explodiert f = ln(x² + y²) im Ursprung, und ein sehr kleiner Nenner dort macht die numerische Ableitung unzuverlässig. An einem lokalen Extremum oder Sattelpunkt ist der Gradient der Nullvektor, sodass der Betrag null ist.
Häufige Fragen
Es ist die steilste Änderungsrate der Funktion an diesem Punkt. Der Gradientenvektor zeigt in Richtung des schnellsten Anstiegs, und |∇f| ist, wie schnell f in dieser Richtung pro Längeneinheit steigt.
Zentrale Differenzen ermöglichen es dem Werkzeug, den Gradienten für jede gewählte Funktion ohne symbolische Differentiation auszuwerten. Mit Schrittweite h = 1e-5 sind sie für glatte Funktionen auf etwa 1e-10 relativen Fehler genau.
An kritischen Punkten — lokalen Maxima, Minima und Sattelpunkten — verschwinden beide partiellen Ableitungen, sodass ∇f = (0, 0) und der Betrag 0 ist.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Gradientenvektor-Rechner [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/gradient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Gradientenvektor-Rechner." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/gradient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Gradientenvektor-Rechner," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/gradient-calculator
@misc{wecalculate_gradient_calculator, title = {Gradientenvektor-Rechner}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/de/calculator/gradient-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Hat Ihnen dieser Rechner geholfen?