Hypergeometrische-Verteilung-Rechner
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge zu erhalten, wenn Sie n Elemente ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit der Größe N ziehen, die K Erfolge enthält.
Chance of exactly that many successes
- 1
Ways to choose k successes
C(15, 3) = 455 - 2
Ways to choose n−k failures
C(35, 7) = 6.724.520 - 3
Ways to choose n from N
C(50, 10) = 10.272.278.170 - 4
P(X = k)
455 × 6.724.520 ÷ 10.272.278.170 = 0,29786Favourable combinations divided by all possible samples of size n.
Wie funktioniert dieser Rechner?
Die hypergeometrische Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit von k Erfolgen in n Zügen ohne Zurücklegen aus einer Grundgesamtheit von N mit K Erfolgen an: P(X=k)=C(K,k)·C(N−K,n−k)/C(N,n). Ihr Mittelwert ist nK/N und die Varianz nK/N·(N−K)/N·(N−n)/(N−1), wobei der letzte Faktor für endliche Grundgesamtheiten korrigiert.
Formel
How this is calculated
Die hypergeometrische Verteilung modelliert das Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit. Sie geben vier ganze Zahlen an: die Grundgesamtheitsgröße N, die Anzahl der Erfolge in dieser Grundgesamtheit K, die Anzahl der gezogenen Elemente n und die beobachtete Anzahl der Erfolge k. Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zählt die günstigen Kombinationen C(K, k) · C(N−K, n−k) — Möglichkeiten, k Erfolge und die verbleibenden n−k Misserfolge zu wählen — geteilt durch C(N, n), die Gesamtzahl der Möglichkeiten, die Stichprobe zu wählen.
Der gültige Bereich für k reicht von max(0, n−(N−K)) bis min(n, K); Werte außerhalb dieses Trägers haben die Wahrscheinlichkeit null. Der Mittelwert ist n·K/N und die Varianz n·(K/N)·((N−K)/N)·((N−n)/(N−1)). Der letzte Faktor (N−n)/(N−1) ist die Endlichkeitskorrektur, die die hypergeometrische von der Binomialverteilung unterscheidet; wird N groß gegenüber n, nähert er sich 1 und die beiden Verteilungen konvergieren.
Binomialkoeffizienten werden über die Log-Gamma-Funktion berechnet, sodass große Grundgesamtheiten nicht überlaufen. Eingaben müssen nicht negative ganze Zahlen mit K ≤ N und n ≤ N sein. Dieses Modell wird häufig in der Qualitätskontrolle (Annahmestichproben), bei Karten- und Lotterieaufgaben sowie bei ökologischen Fang-Wiederfang-Schätzungen verwendet.
Häufige Fragen
Die Binomialverteilung nimmt Ziehen mit Zurücklegen an (konstante Erfolgswahrscheinlichkeit). Die hypergeometrische zieht ohne Zurücklegen, sodass jeder Zug die verbleibende Zusammensetzung ändert. Sie stimmen gut überein, wenn die Grundgesamtheit viel größer als die Stichprobe ist.
Das beobachtete k muss innerhalb des Trägers max(0, n−(N−K)) bis min(n, K) liegen. Sie können zum Beispiel nicht mehr Erfolge ziehen, als in der Grundgesamtheit vorhanden sind oder als die Anzahl der Züge, daher ergeben unmögliche Werte null.
Es ist der Faktor (N−n)/(N−1) in der Varianz. Er verringert die Varianz, weil das Ziehen ohne Zurücklegen aus einem endlichen Pool weniger Unsicherheit hinterlässt als unabhängige Züge.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Hypergeometrische-Verteilung-Rechner [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/hypergeometric-distribution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Hypergeometrische-Verteilung-Rechner." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/hypergeometric-distribution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Hypergeometrische-Verteilung-Rechner," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/hypergeometric-distribution-calculator
@misc{wecalculate_hypergeometric_distribution_calculator, title = {Hypergeometrische-Verteilung-Rechner}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/de/calculator/hypergeometric-distribution-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Hat Ihnen dieser Rechner geholfen?