Grenzwertrechner
Schätze numerisch den Grenzwert einer Funktion, wenn x sich einem gewählten Wert nähert, indem die Funktion von beiden Seiten abgetastet wird.
Function f(x)
Left and right estimates agree
Wie funktioniert dieser Rechner?
Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn x sich c nähert. Dieser Rechner tastet f(x) an Punkten knapp links und rechts von c ab (c ± 10⁻ᵏ). Konvergieren beide Seiten gegen dieselbe Zahl, ist dieser Mittelwert der beidseitige Grenzwert; unterscheiden sie sich, existiert der Grenzwert nicht.
Formel
How this is calculated
Wähle eine Funktion f(x) und den Wert c, dem sich x nähert. Der Rechner wertet f an den Punkten c − 10⁻ᵏ und c + 10⁻ᵏ für k = 1 bis 6 aus und rückt von links und von rechts stetig näher an c heran. Der auf jeder Seite bei der kleinsten endlichen Schrittweite erreichte Wert wird als die einseitige (linke und rechte) Grenzwertschätzung angegeben.
Stimmen die linke und rechte Schätzung innerhalb einer kleinen Toleranz überein (etwa 1e-4 skaliert mit dem Betrag), wird ihr Mittelwert als beidseitiger Grenzwert angegeben. Stimmen sie nicht überein — wie bei |x|/x bei 0, wo die linke Seite −1 und die rechte Seite +1 ergibt — existiert der beidseitige Grenzwert nicht. Dies spiegelt die formale Definition wider: ein beidseitiger Grenzwert existiert nur, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind.
Dies ist eine numerische Schätzung, kein symbolischer Beweis. Funktionen, die unendlich oszillieren (wie sin(1/x) nahe 0) oder gegen unendlich divergieren, können das Abtasten täuschen, und die Gleitkommarundung begrenzt die Genauigkeit nahe sehr steiler Bereiche. Für hebbare Unstetigkeiten wie sin(x)/x bei 0 oder (x²−1)/(x−1) bei 1 ermittelt das Verfahren den wahren Grenzwert (1 bzw. 2) sauber.
Häufige Fragen
Ein beidseitiger Grenzwert existiert nur, wenn der linke und rechte einseitige Grenzwert beide endlich und gleich sind. Unterscheiden sie sich (ein Sprung) oder divergiert eine Seite, meldet der Rechner, dass der Grenzwert nicht existiert.
Nein. Es ist eine numerische Schätzung, die durch Abtasten der Funktion sehr nahe an c gefunden wird. Sie funktioniert gut für stetige Funktionen und hebbare Unstetigkeiten, kann aber durch stark oszillierende oder schnell divergierende Funktionen in die Irre geführt werden.
Dieses Werkzeug wertet Grenzwerte aus, wenn x sich einem endlichen Wert c nähert. Um das Verhalten im Unendlichen anzunähern, gib ein großes c ein und betrachte den Trend, obwohl eine spezielle Analyse des Verhaltens an den Rändern zuverlässiger ist.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Grenzwertrechner [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/limit-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Grenzwertrechner." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/limit-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Grenzwertrechner," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/limit-calculator
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