Rechner für Partialbruchzerlegung
Zerlege eine echt gebrochenrationale Funktion mit zwei verschiedenen linearen Nennerfaktoren mithilfe der Zuhalte-Methode in eine Summe einfacherer Brüche.
- 1
Numerator for A
3 × 1 + 5 = 8 - 2
Denominator (r1 − r2)
1 − -2 = 3 - 3
Coefficient A
8 ÷ 3 = 2,6667 - 4
Numerator for B
3 × -2 + 5 = -1 - 5
Coefficient B
-1 ÷ (-2 − 1) = 0,3333Cover-up method: substitute x = r2 into the numerator and divide by (r2 − r1).
Wie funktioniert dieser Rechner?
Für (px+q)/((x−r1)(x−r2)) mit verschiedenen Wurzeln liefert die Zuhalte-Methode A = (p·r1+q)/(r1−r2) und B = (p·r2+q)/(r2−r1). Der Ausdruck ist dann gleich A/(x−r1) + B/(x−r2). Gib p, q, r1 und r2 ein, um beide Koeffizienten und die vollständige zerlegte Form sofort zu sehen.
Formel
How this is calculated
Dieser Rechner zerlegt einen echt gebrochenrationalen Ausdruck der Form (px + q) / ((x − r1)(x − r2)) in die Summe A/(x − r1) + B/(x − r2). Du gibst die Zählerkoeffizienten p und q an (wobei der Zähler das lineare Polynom px + q ist) sowie die beiden verschiedenen Nennerwurzeln r1 und r2, sodass die Nennerfaktoren (x − r1) und (x − r2) sind.
Die Koeffizienten werden mit der Zuhalte-Methode (Heaviside) bestimmt. Um A zu erhalten, multipliziere beide Seiten mit (x − r1) und setze x = r1 ein, was diesen Faktor aufhebt und A = (p·r1 + q) / (r1 − r2) übrig lässt. Symmetrisch ist B = (p·r2 + q) / (r2 − r1). Dies vermeidet das Lösen eines Gleichungssystems und funktioniert direkt, weil jede Substitution eine Unbekannte isoliert.
Die Wurzeln r1 und r2 müssen verschieden sein; ist r1 = r2, ist der Nenner (x − r1)² (ein mehrfacher Faktor) und eine andere Form A/(x − r1) + B/(x − r1)² ist erforderlich, sodass der Rechner eine Warnung ausgibt. Der Zählergrad muss kleiner als der Nennergrad sein (hier höchstens 1 < 2), damit die Zerlegung echt ist, was die Form px + q gewährleistet.
Häufige Fragen
Es ist eine Abkürzung zum Bestimmen von Partialbruch-Koeffizienten: Multipliziere durch einen einzelnen linearen Faktor und setze dessen Wurzel ein. Der Faktor wird "zugehalten" und du liest den Koeffizienten direkt ab, hier A = (p·r1 + q)/(r1 − r2).
Ist r1 = r2, hat der Nenner einen mehrfachen Faktor (x − r1)², und die korrekte Zerlegung verwendet A/(x − r1) + B/(x − r1)². Die einfache Zweiterm-Form gilt nur für verschiedene lineare Faktoren.
Nein. Der Bruch muss echt sein (Zählergrad kleiner als Nennergrad). Der Zähler px + q hält Grad 1 unter dem Grad-2-Nenner. Für Zähler höheren Grades führe zuerst eine Polynomdivision durch.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rechner für Partialbruchzerlegung [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/partial-fraction-decomposition-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Rechner für Partialbruchzerlegung." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/partial-fraction-decomposition-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rechner für Partialbruchzerlegung," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/partial-fraction-decomposition-calculator
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