Eigenwertrechner für 2x2-Matrizen
Berechne die Eigenwerte jeder 2×2-Matrix, indem du ihre charakteristische Gleichung löst, was reelle oder komplex-konjugierte Wurzeln liefert.
Second eigenvalue λ₂: 2
- 1
Trace T = a + d
4 + 3 = 7 - 2
Determinant D = ad − bc
4 × 3 − 1 × 2 = 10 - 3
Discriminant Δ = T² − 4D
7² − 4 × 10 = 9 - 4
Eigenvalue λ₁ = (T + √Δ) ÷ 2
(7 + 3) ÷ 2 = 5
Wie funktioniert dieser Rechner?
Für eine 2×2-Matrix A = [[a,b],[c,d]] lösen die Eigenwerte λ² − Tλ + D = 0 mit der Spur T = a+d und der Determinante D = ad−bc. Mit der Mitternachtsformel ist λ = (T ± √(T²−4D))/2. Eine nichtnegative Diskriminante ergibt reelle Wurzeln; eine negative ergibt ein komplex-konjugiertes Paar.
Formel
How this is calculated
Gib die 2×2-Matrix A = [[a, b], [c, d]] als zwei Zeilen mit je zwei Zahlen ein. Der Rechner liest alle vier Einträge und berechnet dann die Spur T = a + d und die Determinante D = ad − bc. Diese beiden Skalare bestimmen die Eigenwerte einer 2×2-Matrix vollständig.
Die Eigenwerte sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms det(A − λI) = λ² − Tλ + D = 0. Das Lösen mit der Mitternachtsformel ergibt λ = (T ± √Δ)/2, wobei die Diskriminante Δ = T² − 4D ist. Bei Δ ≥ 0 sind die beiden Eigenwerte reell (gleich bei Δ = 0); bei Δ < 0 bilden sie ein komplex-konjugiertes Paar λ = T/2 ± (√(−Δ)/2)·i.
Alle Einträge werden als exakte reelle Zahlen behandelt und die Ergebnisse zur Anzeige auf vier signifikante Stellen gerundet. Die Methode funktioniert für jede reelle 2×2-Matrix, einschließlich singulärer Matrizen (D = 0, was einen Eigenwert von 0 ergibt) und Fälle mit mehrfacher Wurzel. Beachte, dass Eigenwerte die Skalierungsrichtungen der linearen Abbildung beschreiben; die zugehörigen Eigenvektoren werden hier nicht berechnet.
Häufige Fragen
Wenn die Diskriminante Δ = T² − 4D negativ ist. Dann sind die Wurzeln ein komplex-konjugiertes Paar T/2 ± (√(−Δ)/2)·i, was häufig auf ein Drehverhalten der linearen Abbildung hinweist.
Die Spur ist gleich der Summe der Eigenwerte (λ₁ + λ₂ = T) und die Determinante gleich ihrem Produkt (λ₁·λ₂ = D). Diese Beziehungen sind eine schnelle Möglichkeit, die berechneten Werte zu überprüfen.
Ja. Bei Δ = 0 hat die Matrix einen mehrfachen Eigenwert λ = T/2. Die Matrix kann in diesem Fall diagonalisierbar sein oder nicht, doch der einzelne Eigenwert ist korrekt.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Eigenwertrechner für 2x2-Matrizen [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/eigenvalue-calculator-2x2
TG we-Calculate Editorial Team. "Eigenwertrechner für 2x2-Matrizen." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/eigenvalue-calculator-2x2.
TG we-Calculate Editorial Team, "Eigenwertrechner für 2x2-Matrizen," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/eigenvalue-calculator-2x2
@misc{wecalculate_eigenvalue_calculator_2x2, title = {Eigenwertrechner für 2x2-Matrizen}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/de/calculator/eigenvalue-calculator-2x2}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
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