Löser für Gleichungssysteme (2x2)
Lösen Sie zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten (x und y) mit der Cramerschen Regel.
- 1
Determinante
a₁·b₂ − a₂·b₁ = 2·-1 − 1·3 = -5Non-zero determinant confirms a unique solution exists. - 2
x numerator (c₁b₂ − c₂b₁)
8·-1 − -1·3 = -5 - 3
x = num_x ÷ det
-5 ÷ -5 = 1 - 4
y numerator (a₁c₂ − a₂c₁)
2·-1 − 1·8 = -10 - 5
y = num_y ÷ det
-10 ÷ -5 = 2
Formel
How this is calculated
Du gibst sechs Zahlen ein, die zwei Geraden beschreiben, geschrieben als a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂. Dabei sind a₁ und a₂ die Koeffizienten von x, b₁ und b₂ die Koeffizienten von y, und c₁ und c₂ die Konstanten auf der rechten Seite. Alle Werte sind schlichte dimensionslose Zahlen, und Dezimalzahlen oder negative Werte sind zulässig.
Der Löser wendet die Cramersche Regel an. Er berechnet zuerst die Determinante det = a₁b₂ − a₂b₁, die misst, ob sich die beiden Geraden tatsächlich in einem einzigen Punkt schneiden. Dann dividiert er zwei zugehörige Kreuzprodukte durch diese Determinante: x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ det und y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ det. Das Ergebnis ist der exakte Schnittpunkt der beiden Geraden.
Die zentrale Annahme ist, dass die Determinante ungleich null ist. Wenn det = 0 ist, sind die Geraden parallel (keine Lösung) oder identisch (unendlich viele Lösungen), sodass kein eindeutiges x und y existiert und das Werkzeug dies markiert, anstatt durch null zu dividieren. Die Ergebnisse werden auf vier Nachkommastellen angezeigt, sind also für die Darstellung gerundet.
Beispiele
| Eingabe | Ergebnis |
|---|---|
| 2x + 3y = 8; x − y = −1 | x = 1, y = 2 |
Über diesen Rechner
Ein 2x2-System linearer Gleichungen besteht aus zwei Gleichungen a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂. Die Cramer'sche Regel löst es mithilfe der Determinante det = a₁b₂ − a₂b₁. Wenn det ungleich null ist, hat das System genau eine Lösung, gegeben durch x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ det und y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ det.
Wenn die Determinante gleich null ist, sind die beiden Geraden entweder parallel (keine Lösung) oder dieselbe Gerade (unendlich viele Lösungen), sodass kein einzelnes Paar (x, y) zurückgegeben werden kann. Geometrisch ist die Lösung der Punkt, in dem sich die beiden Geraden schneiden.
Häufige Fragen
Die Cramer'sche Regel drückt jede Unbekannte als Verhältnis von Determinanten aus. Für ein 2x2-System liefert sie x und y direkt aus den Koeffizienten und Konstanten ohne Eliminationsverfahren.
Die Determinante sagt Ihnen, ob eine eindeutige Lösung existiert. Ist sie ungleich null, schneiden sich die Geraden in einem Punkt; ist sie null, sind sie parallel oder identisch und es gibt keine einzelne Lösung.
Bringen Sie jede Gleichung in die Form ax + by = c und geben Sie dann die sechs Koeffizienten a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ in die passenden Felder ein.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Löser für Gleichungssysteme (2x2) [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/system-of-equations-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Löser für Gleichungssysteme (2x2)." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/system-of-equations-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Löser für Gleichungssysteme (2x2)," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/system-of-equations-calculator
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