Rechner für den Winkel zwischen Vektoren
Gib die Komponenten zweier gleich langer Vektoren ein, um den Winkel zwischen ihnen in Grad und im Bogenmaß zu bestimmen.
Computed from the dot product formula
- 1
Dot product a·b
1×1 + 0×1 + 0×0 = 1 - 2
Magnitude |a|
√(1² + 0² + 0²) = 1 - 3
Magnitude |b|
√(1² + 1² + 0²) = 1,4142 - 4
cos θ = a·b ÷ (|a| × |b|)
1 ÷ (1 × 1,4142) = 0,7071 - 5
Angle θ = arccos(cos θ) × 180 ÷ π
arccos(0,7071) × 180 ÷ π = 45
Wie funktioniert dieser Rechner?
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen, bilde ihr Skalarprodukt und teile es durch das Produkt ihrer Beträge, um cos θ zu erhalten, und wende dann den Arkuskosinus an. Das Ergebnis zwischen 0° und 180° zeigt, ob die Vektoren gleichgerichtet (0°), senkrecht (90°) oder entgegengesetzt (180°) sind.
Formel
How this is calculated
Gib die Vektoren a und b als Listen numerischer Komponenten ein, getrennt durch Kommas oder Leerzeichen. Beide Vektoren müssen dieselbe Anzahl an Komponenten (dieselbe Dimension) haben, und keiner darf der Nullvektor sein, da der Winkel undefiniert ist, wenn ein Betrag null beträgt.
Der Rechner berechnet zunächst das Skalarprodukt a·b = Σ aᵢbᵢ und die Beträge |a| = √(Σ aᵢ²) sowie |b| = √(Σ bᵢ²). Der Kosinus des Winkels ist dann cos θ = (a·b) / (|a| × |b|). Dieser Wert liegt mathematisch in [-1, 1], doch Gleitkomma-Rundung kann ihn leicht über diesen Bereich hinausschieben, daher wird er vor dem Arkuskosinus auf [-1, 1] begrenzt.
Schließlich ergibt θ = arccos(cos θ) den Winkel im Bogenmaß, der mit θ° = θ × 180 / π in Grad umgerechnet wird. Das Ergebnis liegt stets zwischen 0° und 180°: 0° bedeutet, dass die Vektoren in dieselbe Richtung zeigen, 90° bedeutet, dass sie senkrecht (orthogonal) sind, und 180° bedeutet, dass sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen.
Häufige Fragen
Das Skalarprodukt ist nur für Vektoren gleicher Dimension definiert, daher müssen beide Vektoren dieselbe Anzahl an Komponenten haben. Unterscheiden sie sich, kann der Rechner keinen Winkel berechnen.
Die Arkuskosinusfunktion liefert Werte von 0 bis π im Bogenmaß (0° bis 180°). Das ist der kleinste richtungsunabhängige Winkel zwischen den beiden Vektoren, unabhängig von ihrer Orientierung im Raum.
Ein Winkel von 90° bedeutet, dass das Skalarprodukt null ist, sodass die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rechner für den Winkel zwischen Vektoren [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/angle-between-vectors-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Rechner für den Winkel zwischen Vektoren." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/angle-between-vectors-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rechner für den Winkel zwischen Vektoren," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/angle-between-vectors-calculator
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