Löser für kubische Gleichungen
Finde jede reelle und komplexe Wurzel jeder kubischen Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0 und sieh die Kurve geplottet.
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Shift: t = x + b/(3a)
6 ÷ (3 × 1) = 2Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0. - 2
p = (3ac − b²) ÷ (3a²)
(3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = -1 - 3
q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)
0 ÷ 27 = 0 - 4
Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³
(0 ÷ 2)² + (-1 ÷ 3)³ = -0,0370Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
Wie funktioniert dieser Rechner?
Eine kubische Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0 hat stets drei Wurzeln. Dieser Löser reduziert sie auf eine reduzierte kubische Gleichung, prüft die Diskriminante Δ = (q/2)² + (p/3)³ und wendet dann die Cardanische Formel für eine reelle Wurzel oder eine trigonometrische Formel für drei reelle Wurzeln an, listet jede Wurzel auf und zeichnet die Kurve.
Formel
How this is calculated
Gib die vier Koeffizienten a, b, c und d ein. Der führende Koeffizient a muss ungleich null sein, sonst ist die Gleichung nicht kubisch und der Rechner liefert kein Ergebnis. Die Gleichung wird zunächst gedanklich durch a geteilt und mit der Substitution x = t − b/(3a) auf eine reduzierte kubische Gleichung t³ + pt + q = 0 reduziert, wobei p = (3ac − b²)/(3a²) und q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).
Die Art der Wurzeln wird durch die Diskriminante Δ = (q/2)² + (p/3)³ bestimmt, die proportional zu −(4p³ + 27q²) ist. Bei Δ > 0 gibt es genau eine reelle Wurzel, berechnet mit der Cardanischen Formel t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ), plus ein konjugiertes Paar komplexer Wurzeln. Bei Δ ≤ 0 sind alle drei Wurzeln reell und werden mit der stabilen trigonometrischen Formel t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3) für k = 0, 1, 2 bestimmt.
Jedes t wird um −b/(3a) verschoben, um x zurückzugewinnen. Komplexe Wurzeln werden als Realteil plus oder minus einem Imaginärteil (…i) angezeigt. Der Graph stellt y = ax³ + bx² + cx + d über ein Fenster dar, das die reellen Wurzeln umfasst, wobei jeder x-Achsen-Schnittpunkt eine reelle Lösung markiert. Die Ergebnisse sind bis auf Gleitkomma-Rundung exakt; sehr große Koeffizientenverhältnisse können kleine numerische Fehler einführen.
Häufige Fragen
Ist a = 0, verschwindet der x³-Term und die Gleichung ist quadratisch (oder niedriger), nicht kubisch, sodass die kubische Methode nicht anwendbar ist. Verwende stattdessen einen quadratischen Löser.
Jede kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat mit Vielfachheit gezählt genau drei Wurzeln: entweder drei reelle Wurzeln oder eine reelle Wurzel und ein Paar komplex-konjugierter Wurzeln.
Δ > 0 bedeutet eine reelle und zwei komplexe Wurzeln; Δ = 0 bedeutet eine mehrfache reelle Wurzel; Δ < 0 bedeutet drei verschiedene reelle Wurzeln.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Löser für kubische Gleichungen [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/cubic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Löser für kubische Gleichungen." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/cubic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Löser für kubische Gleichungen," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/cubic-equation-solver
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